¿Cómo leer ecuaciones de integrador doble?

Question

Por lo que entiendo, el integrador doble es un modelo en el que alguna entidad puede moverse de acuerdo con una velocidad, que depende de la fuerza de aceleración ejercida sobre la entidad.

Si alguien me pidiera que representara tal modelo, con $x$ la posición de la entidad, $v$ su velocidad, y $a$ su aceleración, lo escribiría simplemente:

$$ \dot{x} = v $$ $$ \ddot{x} = a $$

Sin embargo, estas no parecen ser las mismas relaciones que se dan en la página de Wikipedia (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Double_integrator). Quizás tengo problemas con la notación. ¿Qué significan exactamente las siguientes ecuaciones, destinadas a representar un sistema de doble integrador en una sola dimensión ?

$$ \ddot{q} = u(t) $$ $$ y = q(t) $$

$u$ se describe como la entrada de control, que supongo que es la aceleración, y $q$la salida, cuál es la posición de la entidad? Entonces que es$y$? Parece ser igual a$q$, entonces, ¿cuál es su uso aquí?

Answer 1

El artículo de Wikipedia es inconsistente en notación y forma.

Además, el artículo contiene ecuaciones de restricción entre los grados de libertad, lo que complica aún más la notación. No tiene tales consideraciones para un problema de 1 DOF.

Así que tome su ejemplo, con $n=1$ DOF y considere las siguientes cantidades

• Las coordenadas generalizadas son vector de $n$ valores

  $$\boldsymbol{q} = \pmatrix{x} \tag{1}$$

• La ecuación diferencial se da en términos de grados de libertad como un sistema de $n$ ecuaciones

  $$ \ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{\rm f}(t, \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) \tag{2}$$

  $$ \ddot{x} = {\rm f}(t,x,\dot{x}) $$

• Como EDO lo anterior es de segundo orden y está configurado como la integración de dos variables (integrador doble) para poder ser resuelto. Como sistema de dos EDO de primer orden, lo anterior se expresa con$2n$ ecuaciones.

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot{q}} } = \pmatrix{ \boldsymbol{\dot q} \\ \boldsymbol{\rm f}(t,\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}}) } \tag{3}$$ $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{x \\ v} = \pmatrix{v \\ {\rm f}(t,x,v)} $$

• Más formalmente con un vector estatal $\boldsymbol{x} = \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot q}}$el sistema de ecuaciones anterior se lleva a una forma más canónica que es lo que debería haber mostrado el artículo

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\rm u}(t, \boldsymbol{x}) \tag{4}$$

  $$ \begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\rm f}(t,x,v) \end{aligned}$$

  _{Tenga en cuenta que el vector de estado no es un vector real en términos de física, sino más bien una construcción matemática.}

• El sistema también puede describir restricciones que unen diferentes grados de libertad y sus derivadas.

  $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\rm g}(t, \boldsymbol{x}) \tag{5} $$

  pero esto no se aplica en su caso.

• Todo lo anterior se vuelve un poco más formal cuando se expresa en términos de álgebra lineal como un sistema DAE ( ecuaciones diferenciales y algebraicas )

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \mathbf{A} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} \tag{6} $$ $$ \boldsymbol{0} = \mathbf{G} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c} \tag{7} $$