¿Cómo probar esta afirmación en la teoría de conjuntos?
necesito demostrar que$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$
Mientras probaba, estaba tratando de usar distribuciones e intersecar ambos lados del conjunto de ecuaciones izquierdo$\bar{B}$. funciona para$\Rightarrow$, pero no estoy seguro de$\Leftarrow$
Sería bueno obtener al menos 1 pista si mi mente está equivocada. gracias en consejo
Respuestas
Asumir$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$sostiene y deja$x \in C$. Después$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$de este modo$x\in A$.
Si$C \subset A$, después$A\cap C=C$asi que$$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$
„$\Rightarrow$”$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. Por lo tanto$A\cup C=A$, y obtenemos que C está en A. „$\Leftarrow$”. Si$C$es en$A$, después$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, y todo listo.
$ \Leftarrow $es aún más fácil. Demuestra que si$ x \in LHS $después$ x \in RHS $y viceversa. Usando el hecho de que$ C \subset A $, no hay muchos casos a considerar.