¿Cómo se relacionan los supuestos de exogeneidad estándar y los conceptos de resultados potenciales?
Si tuviéramos un modelo:
$y=x\beta +\eta$
y asumió exogeneidad, así que $E[\eta|x]$= 0, es el hecho de que xo la intensidad del tratamiento ahora no está correlacionada con $\eta$ equivalente a decir que x es 'independiente de los resultados potenciales'?
Respuestas
Si, si llamamos al modelo
$$Y = X\beta + \eta$$
"estructural" o "causal", podemos usarlo para definir los resultados potenciales como
$$Y(x) = x\beta + \eta.$$
(Estoy usando letras mayúsculas $Y$ y $X$ para variables aleatorias y minúsculas $x$ para una realización o constante fija).
Entonces asumiendo $E[\eta|X] = 0$, resulta que
$$E[Y(x)|X] = x\beta + E[\eta|X] = x\beta,$$
que no depende de $X$, así que significa ignorabilidad $E[Y(x)|X] = E[Y(x)]$ sostiene.
Esta "definición estructural de contrafácticos" fue propuesta por Judea Pearl, ver por ejemplo su libro "Causality", o su libro con Jewell y Glymour, "Causality: A Primer".