condición en números complejos para formar un cuadrilátero cíclico.
Considere números complejos $z,z^2,z^3,z^4$en ese orden que forman un cuadrilátero cíclico. Si$\arg z=\alpha$ y $\alpha$ yace en $[0,2\pi]$.Encuentra los valores $\alpha$ puede tomar.
Encontré esta pregunta en un examen competitivo. Intenté usar la propiedad del cuadrilátero cíclico para obtener $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ Esto se puede simplificar aún más, pero no ayuda.
También intenté usar el teorema coni pero no sirvió de nada. La respuesta dada es alfa se encuentra en$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
Respuestas
Aquí hay una forma alternativa de renderizar $|z|=1$ - por inducción matemática, de todas las cosas.
Suponer que $z,z^2,z^3,z^4$ acostarse en un círculo para distinto de cero $z$. Luego, multiplicando todos los elementos por$z$ inferimos que $z^2,z^3,z^4,z^5$ también se encuentran en un círculo, que debe ser el mismo que el primer círculo debido a los tres puntos superpuestos $z^2,z^3,z^4$. similar$z^6,z^7,...$ Acuéstese en el mismo círculo.
Ahora ve por el otro lado. Dado$z,z^2,z^3,z^4$ en un círculo dividido por $z$, entonces $1,z,z^2,z^3$también se encuentran en un círculo que es nuevamente el mismo que el inicial. Repitiendo este proceso encontramos$z^{-1},z^{-2},...$ también mienten en este círculo.
Así, el mismo círculo contiene todos los puntos con la forma $z^n$ para todos los enteros $n$, positivo, negativo y cero. Pero el círculo tiene que estar acotado y el conjunto de poderes que se acaban de identificar lo está solo$|z|=1$.
Dado $|z|=1$, cómo se restringe el argumento es una cuestión de definición. Si requerimos los puntos$z,z^2,z^3,z^4$ para estar en orden de rotación en el cuadrilátero, entonces debemos tener uno de dos casos:
Si el orden es en sentido antihorario, entonces $0<\alpha<2\pi/3$ porque para preservar el orden de rotación tenemos que tener $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.
Si el orden es en el sentido de las agujas del reloj, entonces las potencias inversas $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ están en orden antihorario y ahora requerimos $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. Esto le da al segundo conjunto$4\pi/3<\alpha<2\pi$ si los argumentos se toman en $[0,2\pi)$.
Pero, posiblemente, los puntos todavía se encuentran en el círculo incluso si no están en este orden de rotación, por lo que el cuadrilátero cíclico existe a menos que esté degenerado por pares de vértices que coinciden. Tal coincidencia ocurre solo si$n\alpha$ es múltiplo de $2\pi$ para $n\in\{1,2,3\}$. Entonces desde este punto de vista$\alpha$ puede ser cualquier cosa en $[0,2\pi]$ excepto $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.
Por Ptolomeo obtenemos: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ o $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ Ahora, podemos usar una desigualdad triangular.
Id est, para $|z|=r$ obtenemos: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ lo que da $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ o $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ y desde $\sin\alpha\neq0$, obtenemos $r=1$.
Como en la solución de Michael, usa Ptolomeo para obtener $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.
Consulte la imagen, es obvio que $|z^{2}|=1$ y consecuentemente $|z|=1$. Xa$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$la ecuación es válida. Pista: en qué ángulo$\alpha$ hace la dirección de $z^{2}+z+1$ convertirse en opuesto de $z$?
Para el problema del módulo, usemos la equivalencia clásica (ver aquí ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
En nuestro caso, (1) se convierte en:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
Teniendo en cuenta diferentes simplificaciones provenientes en particular de $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) es equivalente a:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
dicho de otra manera, con $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
como $\theta \ne k \pi$ (tales valores darían cuadriláteros degenerados), tenemos necesariamente $r-\tfrac1r=0$, dando $r=1$.
Para el problema del ángulo, supongamos que$z=re^{i \theta}$ con $0<\theta<\pi$ sin pérdida de generalidad (esto es hasta una simetría con respecto a la $x$-eje). Es equivalente a hacer un razonamiento sobre$1,z,z^2,z^3$ que son puntos obtenidos de $z,z^2,z^3,z^4$ por un $-\theta$rotación. Es geométricamente claro que una condición necesaria es que$z^3$ tiene un argumento menor que $2 \pi$ (de lo contrario, el orden de los puntos $1$ y $z^3$no sería respetado). Esta condición$arg(z^3)<2 \pi$ da
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
Además, esta condición es suficiente: todos $\alpha$s verificar (3) dar una solución adecuada.