¿Cuál es la diferencia entre estas dos soluciones de esta pregunta de probabilidad?
El problema: se colocan al azar 8 bolas idénticas en tres bolsas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bolsa contenga 3 bolas?
La solución que se me ocurrió: Podemos distribuir 8 pelotas idénticas entre 3 bolsas diferentes de 45 maneras. De esas 45 formas, en 6 formas, la primera bolsa contendrá exactamente 3 bolas. Entonces, la probabilidad es$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$
Pero con la distribución binomial, y así es como la mayoría de las personas (en Quora) resolvieron esta pregunta, y este enfoque también parece ser bastante intuitivo, la probabilidad de que se coloque una pelota en la primera bolsa es 13. La probabilidad que exactamente 3 de las 8 bolas terminarán en la primera bolsa se puede encontrar usando la distribución binomial:
8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273
Solo quiero saber, ¿por qué las respuestas de estos dos enfoques son muy diferentes?
Respuestas
El problema dice que las bolas se colocan "al azar", pero no especifica la distribución aleatoria o el proceso mediante el cual se colocan esas bolas. La respuesta definitivamente depende de esa información. Por ejemplo:
- Si alguien enumera las 45 formas en que las bolas podrían terminar y luego elige una de esas 45 formas uniformemente al azar, entonces la respuesta es$2/15$como dijiste.
- Si, independientemente , cada bola se coloca en una de las tres bolsas de manera uniforme al azar, entonces la respuesta es$1792/6561$como dice la respuesta de Quora.
Estas no son las únicas dos posibilidades. Si alguien lanza una moneda al aire y pone todas las bolas en la primera bolsa si la moneda sale cara y pone todas las monedas en la segunda bolsa si la moneda sale cruz, eso sigue colocando las bolas "al azar", pero la respuesta a la pregunta seria$0$.
Siempre necesitamos especificar una distribución de probabilidad. Si pretendemos que las bolas se coloquen en las bolsas de manera uniforme e independiente, deberíamos decir eso (aunque esa sería mi mejor suposición en cuanto a las intenciones del escritor).