¿Cuál es la diferencia entre estas dos soluciones de esta pregunta de probabilidad?

Aug 19 2020

El problema: se colocan al azar 8 bolas idénticas en tres bolsas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bolsa contenga 3 bolas?

La solución que se me ocurrió: Podemos distribuir 8 pelotas idénticas entre 3 bolsas diferentes de 45 maneras. De esas 45 formas, en 6 formas, la primera bolsa contendrá exactamente 3 bolas. Entonces, la probabilidad es$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$

Pero con la distribución binomial, y así es como la mayoría de las personas (en Quora) resolvieron esta pregunta, y este enfoque también parece ser bastante intuitivo, la probabilidad de que se coloque una pelota en la primera bolsa es 13. La probabilidad que exactamente 3 de las 8 bolas terminarán en la primera bolsa se puede encontrar usando la distribución binomial:

8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273

Solo quiero saber, ¿por qué las respuestas de estos dos enfoques son muy diferentes?

Respuestas

2 GregMartin Aug 19 2020 at 00:38

El problema dice que las bolas se colocan "al azar", pero no especifica la distribución aleatoria o el proceso mediante el cual se colocan esas bolas. La respuesta definitivamente depende de esa información. Por ejemplo:

  • Si alguien enumera las 45 formas en que las bolas podrían terminar y luego elige una de esas 45 formas uniformemente al azar, entonces la respuesta es$2/15$como dijiste.
  • Si, independientemente , cada bola se coloca en una de las tres bolsas de manera uniforme al azar, entonces la respuesta es$1792/6561$como dice la respuesta de Quora.

Estas no son las únicas dos posibilidades. Si alguien lanza una moneda al aire y pone todas las bolas en la primera bolsa si la moneda sale cara y pone todas las monedas en la segunda bolsa si la moneda sale cruz, eso sigue colocando las bolas "al azar", pero la respuesta a la pregunta seria$0$.

Siempre necesitamos especificar una distribución de probabilidad. Si pretendemos que las bolas se coloquen en las bolsas de manera uniforme e independiente, deberíamos decir eso (aunque esa sería mi mejor suposición en cuanto a las intenciones del escritor).