¿Cuál es la diferencia entre Path $\infty$-groupoid y Smooth Fundamental $\infty$-grupoide de un espacio liso?

Question

Hace un par de días hice una pregunta: ¿Existe una versión geométrica / suave de la hipótesis de homotopía usando la ruta?$\infty$-¿Grupoide de un espacio liso? en MO sobre la existencia de una posible versión Suave / Geométrica de la Hipótesis de Homotopía utilizando la noción de Ruta$\infty$-grupoide de un espacio liso.

Después de una discusión en la sección de comentarios con @David Roberts , tuve la sensación (pero no del todo convencido) de que, aunque Path 1-groupoid y smooth fundamental 1-groupoid de un espacio liso son objetos bastante diferentes pero "si nos movemos hasta el nivel infinito" y presentarlos como complejos Kan, entonces se convertirán en el mismo objeto.

Hace 3 meses hice la siguiente pregunta MO ¿ Cuál es la realización geométrica del nervio de un grupoide fundamental de un espacio? .

De las discusiones en

1. ¿Existe una versión geométrica / suave de la hipótesis de homotopía usando la ruta $\infty$-¿Grupoide de un espacio liso?

2. ¿Cuál es la realización geométrica del nervio de un grupoide fundamental de un espacio?

ahora tengo las siguientes preguntas / dudas:

Sabemos que la construcción de Smooth Fundamental 1-Groupoid y Path 1-Groupoid de un espacio liso induce functores naturales $Man \rightarrow Groupoids$. Ahora de la discusión en ¿Cuál es la realización geométrica del nervio de un grupoide fundamental de un espacio? Eso espero$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ contiene toda la información de los primeros grupos de homotopía del espacio liso $X$ dónde $N$es el functor nervioso ,$\pi_{\leq 1}$es el functor Smooth Fundamental 1-Groupoid y$|-|$es el functor de realización geométrica . Ahora podemos repetir el mismo procedimiento con el functor Path 1-Groupoid$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

Mis preguntas son las siguientes:

1. Es $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (dónde "$=$"está en un sentido apropiado)

2. ¿Hay alguna forma de presentar un camino? $\infty$-grupoide de un espacio liso tal que es diferente de Smooth Fundamental $\infty$-grupoide del espacio? (Para que coincida con nuestra intuición para$n=1$ caso)

(Por "$n$"Me refiero a" Groupoids en el nivel 1 ").

Answer 1

Solo puedo responder a su primera pregunta, y la respuesta es no. Toma por ejemplo$X=\mathbb{R}^2$, de modo que el grupoide fundamental es trivial, pero el grupo de ruta contiene flechas distintas representadas por círculos de cada radio positivo que pasan por un punto base fijo (y muchos más). Esto es ignorar todas las cuestiones de topología o estructura suave en el conjunto de flechas, que creo que es su intención. Y así, las realizaciones geométricas de los nervios de estos no pueden ni siquiera ser débilmente equivalentes de homotopía, ya que uno es contráctil y uno tiene un grupo fundamental que ni siquiera se genera de manera finita.