¿Cuándo la composición de mapas lineales es un isomorfismo?

Question

Dejar $T:V\rightarrow W$ y $L:W\rightarrow U$ ser mapas lineales entre dimensiones finitas $\mathbb{R}$-espacios vectoriales. Tengo curiosidad por saber cuando$L\circ T:V\rightarrow U$ es un isomorfismo.

Mi hipótesis es que $L\circ T$ es un isomorfismo si y solo si $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Con esto quiero decir que$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).

Esto es lo que he llegado lejos, por esta publicación sabemos que$L$ debe ser inyectiva y (discutiendo doblemente) encontramos que $T$debe ser sobreyectiva. Entonces, aplicando el lema de división : escribimos$W\cong V\oplus U$. Ya que$T$ es inyectivo y lineal entonces $V\cong Im(T)$. Ahora, desde$L$ es sobreyectiva entonces si $Im(T)$ se cruza $\ker(L)$ no trivialmente (es decir, más que solo en $0$) entonces $Im(L)$ es de dimensión estrictamente inferior a $U$; de donde no puede ser sobreyectiva. Por lo tanto,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. La dirección contraria es clara.

¿Mi argumento también se mantendría si $L\circ T$ es solo inyectivo?

Answer 1

El lema de la división no se aplica en esta situación. También por$L \circ T$ ser biyectivo $L$ debe ser sobreyectiva y $T$ inyectable.

La siguiente afirmación es cierta para toda la composición de mapas. $L \circ T$ es biyectivo iff $T$ es inyectable y $L|_{im T} $es biyectiva. Al mirar mapas lineales, esto se traduce en:

$L \circ T$ es biyectivo iff $T$ es inyectable, $L$ sobreyectiva y $im(T) \cap ker(L) = {0}$