Dado$a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$y$b>\frac{a^4}{a^2+1}$, demostrar$b\geq a^2$

Question

Dado que$$ a,b \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$$y$$b> \frac{a^4}{a^2+1}$$¿Cómo puedo probar$b\geq a^2$ya que estoy buscando todos los valores posibles de$(a,b)$(y en realidad lo sé todo por alguna fuerza bruta)?

Hasta ahora puedo ir a la forma canónica de la desigualdad original es esta

$$b> a^2-1+ \frac{1}{a^2+1}.$$

Cualquier ayuda será muy apreciada :)

PD: Ya resuelvo esto como quería y también he visto mis errores. Gracias a todos los que me ayudaron y editaron mi problema en especial a @quasi. Estoy MUY satisfecho porque en realidad es parte de un problema probabilístico más complejo. Sé que es un poco injusto, pero me siento más cómodo con mi propia solución y la pongo a continuación...

Answer 1

Usemos la contradicción. Suponer$b\leq a^{2}-1$.

$b\leq a^{2}-1$

$b(a^{2}+1)\leq (a^{2}-1)(a^{2}+1)$

$b\leq \frac{a^{4}-1}{a^{2}+1}$

contradiciendo$b>\frac{a^{4}}{a^{2}+1}$

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, no se puede probar$b > a^2$ya que para el caso$a=b=1$, la desigualdad$$b > \frac{a^4}{a^2+1}$$se cumple pero la desigualdad$b > a^2$falla

pero para probar$b\ge a^2$se cumple para todos los casos, podemos argumentar de la siguiente manera. . . \begin{align*} &b > \frac{a^4}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > \frac{a^4-1}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > a ^2-1 \\[4pt] \implica\;& b \ge (a^2-1)+1\;\;\;\;\text{[puesto que$b$y$a^2-1$son ambos enteros]} \\[4pt] \implica\;& b \ge a^2 \\[4pt] \end{align*}

Answer 3

Dejar$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}$.$$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}<\dfrac{a^4}{a^2}=a^2 \text{ and }b>A$$Por lo tanto, debe demostrar que$b\notin (A,a^2)$.

$a^2$es un entero y$a^2-A=a^2-\dfrac{a^4}{a^2+1}=\dfrac{a^2}{a^2+1}<1$. Así el intervalo$(A,a^2)$no puede contener un número entero y$b\notin (A,a^2)$. Asi que$b\geq a^2$.

Answer 4

Finalmente entiendo cómo hacerlo. Así lo hice (como ya sé resolver, no le puse palabras).

$$ b > \frac {a^4}{a^2 +1}$$

$$\frac {a^4}{a^2 +1} = a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1} > a^2 - 1$$

$$b > a^2 - 1$$

$$b \geq a^2 - 1 +1$$

$$b \geq a^2$$.