Definición positiva definida

Question

Estoy mirando las notas en http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Dice que lo siguiente son equivalentes para un simétrico $H$:

(1) $H$ es positivo definido.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Entradas diagonales de $H_{ii}$ son positivos! ?????

(4) y (5) no parecen pertenecer. (4) es una condición necesaria para$H$ser positivo definido, pero no suficiente. Considere un$2 \times 2$matriz con 2 valores propios negativos. La matriz no es definida positiva pero tiene un determinante positivo. De hecho, nunca había oído hablar de (5) a menos que estemos hablando de matriz diagonal. ¿No está mal este también?

Answer 1

(4) es falso. Para un contraejemplo, considere$H = -I$ dónde $I$ es el $2\times 2$matriz de identidad. Entonces, para cualquier distinto de cero$x$, tenemos $x^T H x = -x^T x < 0$, entonces $H$ no es positivo definido.

(5) también es falso. Considerar$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, que tiene determinante $-3$. Esto significa que uno de sus valores propios es negativo; en particular,$\lambda = -1$ es un valor propio con, por ejemplo, vector propio $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Luego$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, entonces $H$ no es positivo definido.