Demuestra que el perímetro del triángulo $MNC$ es igual a la mitad del perímetro del triángulo $ABC$

Question

En $ABC$ triángulo equilátero. $K$ es el punto medio de $AB$. $M$ y $N$ acostarse $AC$ y $BC$respectivamente. Si$\angle MKN=60°$, luego demuestre que el perímetro de $\triangle MNC$ es igual a la mitad del perímetro de $\triangle ABC$.

Answer 1

Primero mira la imagen de la izquierda.

Espejo $N$ con respecto a $CK$, déjalo ser $N'$. Nos damos cuenta que$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Por lo tanto$MKNN'$son co-cíclicos. Por lo tanto$\triangle MKN$imagen de espejo con respecto a $CK$ comparte el mismo círculo con $\triangle MKN$. Por lo tanto, el centro de$\triangle MKN$La circunferencia se encuentra en $CK$.

Ahora dibuja bisectores de ángulo de $\angle CMN, \angle CNM$ y que se reúnan en $I$. Obviamente$I$ se encuentra en la tercera bisectriz $CK$. Ya que$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$son co-cíclicos. Además, combinando con el resultado del párrafo anterior, sabemos$IK$es un diámetro de ese círculo. Por lo tanto$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

Por lo tanto $MK$ biseca el ángulo exterior $\angle AMN$ y $NK$ biseca el ángulo exterior $\angle BNM$.

Ahora mira la imagen de la derecha. Dibuja el círculo tangente a$AM,MN,NB$ y deja que su centro sea $O$. Notaremos que$MO$ bisecará el ángulo $AMN$ y $NO$ bisecará el ángulo $BNM$ entonces $O$ y $K$ son esencialmente el mismo punto.

Ahora es fácil ver el perímetro de $\triangle CMN$ es lo mismo que $CP+CQ$, que es la mitad del perímetro de $\triangle ABC$. (Porque$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ y también $BQ$)

Answer 2

¡Creo que he resuelto el problema, chicos!

Tomemos el punto $P$ al lado $BC$ dónde $\angle NKP=60°$. Entonces toma el punto$T$ en la línea PK donde $PK=KT$. triangulos$BKP$ y $ATK$son congruentes. Entonces$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Darse cuenta de$AMKT$es una circunferencia. Entonces$\angle TAK=\angle TMK$. Así$TMK$ es un triángulo equilátero.

Ahora podemos estar seguros de que los triángulos $MKN$ y $NKP$son congruentes. Entonces$MN=NK$. Por el teorema de Ptolomeo, obtenemos que$AM+AT=AK$. Además, no olvides que$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.