Demuestra que si $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ y $~\sum c_n=C$ [duplicar]

Dec 07 2020

Dejar $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ser secuencias. Definir$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Demuestra que si $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ y $~\sum c_n=C~$ (entonces todas son series convergentes) entonces $C=AB$. (Tenga en cuenta que no necesitamos$\sum a_n$ ser absolutamente convergente).

Hola a todos. Estoy atascado en cómo iniciar este problema. No quiero la respuesta, solo una pista sobre cómo empezar.

Respuestas

Kolmogorov Dec 07 2020 at 16:14

Lamento haber entendido mal la pregunta anteriormente. Lo que está buscando probablemente sea esto , que dice:

Dejar $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ son series complejas condicionalmente convergentes, $\sum c_{n}$ es el producto de Cauchy de $\sum a_n$, $\sum b_n$ tal que $\sum c_n$converge. Entonces,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Para obtener una prueba completa, consulte el mismo enlace anterior.


EDITAR: Se actualizaron los enlaces. Disculpe las molestias.