Demuestre que el espacio dual de $\ell^1$ es $\ell^{\infty}$

Question

Demuestre que el espacio dual de $\ell^1$ es $\ell^{\infty}$

Mi intento : obtuve la respuesta aquí, pero no puedo entender la respuesta

sabemos que la norma de $ x\in \ell^1$ es dado por $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$

norma de $ x\in \ell^{\infty}$ es dado por $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$

Ahora aquí comienza mi prueba :

Ya que $\ell^1$ es de dimensión infinita porque contiene la secuencia infinita en la forma $(0,0,\dots,1,0,\dots)$

Entonces existe una base $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ de $\ell^1$ dónde $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$

Esto implica que cada $x \in \ell^1$ Se puede escribir como $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$

Ahora tome un funcional lineal acotado $f$ de $\ell^1$

$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ definido por $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$

Después de eso, no puedo continuar.

Answer 1

Claramente, cada elemento de $v\in\ell^\infty$ define un elemento del dual de $\ell^1$, ya que si $v=(v_j)$ y $x=(x_j)\in\ell^1$, entonces $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ Dejar $\varphi\in(\ell^1)^*$ y establecer $v_j=\varphi(e_j)$ y $v=(v_j)$. Claramente$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ y por lo tanto $v\in\ell^\infty$ y $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. Queda por demostrar que$\varphi(x)=v(x)$, para todos $x\in\ell^1$ y $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.

Claramente, $\varphi(x)=v(x)$, para $x=e_j$ y para todos $x$que son combinaciones lineales finitas de $e_j$s. También son funcionales lineales acotados y coinciden en un subconjunto denso de$\ell^1$, y de ahí el acuerdo en todas partes, es decir, $v\equiv \varphi$.

Para la parte final, queda mostrar que $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. Ahora, para cada$\epsilon>0$, existe un vector unitario $w=(w_j)\in\ell^1$, tal que $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ y tambien existe $n\in\mathbb N$, tal que $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, dónde $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ y claramente $v(w(n))=\varphi(w(n))$. Entonces$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ y esto es cierto para todos $\epsilon>0$, lo que implica que $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.