Demuestre que un grupo de orden $pq$ tiene subgrupo de orden $p$ y $q$ sin usar el teorema de sylow y cauchy
Si $o(G)$ es $pq$, $p>q$ son primos, demuestra que $G$ tiene un subgrupo de orden $p$ y un subgrupo de orden $q$.
[Esta pregunta es de Herstein y se antepone al teorema de Sylow y Cauchy. Así que espero una respuesta sin usar ninguno de estos]
Esto es lo que tengo hasta ahora:
Si $G$ es cíclico, entonces hemos terminado de lo contrario, podemos asumir que no es cíclico, lo que significa que cada elemento no identitario debe estar en orden $p$ o $q$.
Caso $(1)$ si existe $a\in G$ tal que $o(a) = p$ y si también existe un elemento de orden $q$entonces hemos terminado. Entonces podemos asumir que cada elemento no identitario es de orden$p$. Ahora elige$b\in G$ tal que $b\notin \langle a \rangle$ luego $o(b) = p$ y $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
Entonces tenemos $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ pero $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ pero $p^2 > pq$ [ya que $p>q$] así que tenemos una contradicción.
Dame una pista para el segundo caso y corrígeme si mi argumento para el primer caso es incorrecto
Respuestas
Suponga que cada elemento no identitario genera un grupo cíclico de orden $q$, el menor de los números primos.
El conjugado es una relación de equivalencia en un grupo. Entonces, deberíamos poder dividir el grupo en sus clases de equivalencia. El tamaño de la clase de equivalencia a la que pertenece un elemento es el índice del centralizador del elemento. ¿Por qué? Reparar$x\in G$. Hacer un homomorfismo de$G \rightarrow G$ enviando $g \rightarrow xgx^{-1}$. El tamaño de la clase de equivalencia es el orden de la imagen. ¿Cuál es el núcleo de este mapa?
Si el centralizador está en orden $p$ o $pq$, hemos terminado. Suponga que cada centralizador está en orden$q$, el índice del centralizador es $pq/q=p$. Cada elemento pertenecería a una clase de equivalencia de tamaño$p$, excepto el elemento de identidad.
Un simple cálculo de cardinalidad muestra que $pq= kp+1$, donde representa el número de clases de equivalencia. Sin embargo, esto es absurdo y, por lo tanto, no todos los subgrupos de orden$q$.