Descomposición espectral vs expansión de Taylor

Nov 30 2020

Esta pregunta y los comentarios y respuestas que recibió me animaron a hacer esta pregunta, aunque sé que habrá algunas personas que piensen que esto pertenece al foro de matemáticas. Pero creo que este tema es más relevante para los físicos matemáticos que para los matemáticos puros.

Motivación: una de las respuestas a esta pregunta explica que si$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ es función adecuada y $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$es un operador adecuado, podemos definir \ begin {ecuación} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {ecuación} donde$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$es una medida. Sin embargo, es mucho más fácil entender la definición en términos de series convergentes, por ejemplo, en el caso de exponencial o logaritmo. (En física estadística,$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ es la entropía, cuando $\rho$es el operador de densidad ). Por eso me gustaría saber:

¿También es posible escribir $f(A)$ en términos de una serie convergente cuando $f$tiene una expansión de Taylor en algún momento?

En caso de que la respuesta sea sí, también me pregunto si existe una manera relativamente fácil de ver cómo la integral y la serie son equivalentes. (Hasta donde yo sé, las integrales, incluso$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - puede expresarse como límite de alguna serie, por lo que tal vez ese sea un buen punto de partida).

Ejemplos: la expresión \ begin {ecuación} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} A ^ n \ end {ecuación} tiene sentido siempre que$A$ es un elemento de un espacio normado completo y converge a $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ cuando $A$es operador adecuado ( fuente ).

Incluso se sabe que \ begin {ecuación} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ right) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {ecuación} converge a$\text{ln}(A)$bajo ciertas circunstancias (ver aquí y aquí ), así que me preguntaba si existe una regla general. Es decir, si tenemos \ begin {ecuación} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {ecuación} en un vecindario de$b$, ¿es \ begin {ecuación} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {ecuación}

Respuestas

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Si el operador $A$ pertenece a $B(H)$ (el espacio del operador acotado definido en todas partes en el espacio de Hilbert $H$) y es normal: $$A^*A=AA^*$$ entonces admite una descomposición espectral $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ y, con una notación obvia, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

En este caso (y también en el caso general donde $A$ es ilimitado (densamente definido, cerrado, normal)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ para cada función medible de Borel $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. En este caso, la respuesta es relativamente sencilla.

Proposición .

Dejar $A \in B(H)$ sé normal y considera $f: \Omega \to \mathbb{C}$ una función analítica en el conjunto abierto $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Si $z_0 \in \Omega$ y la expansión de Taylor de $f$ alrededor $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ tiene radio de convergencia $R+\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$, y finalmente $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ entonces $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ donde la convergencia del lado derecho está en la norma de $B(H)$.

PRUEBA . Partimos de la desigualdad $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ que es valido si $g$es Borel-medible y acotado. Esta desigualdad es cierta incluso si$A$ no está acotado.

Explotando esa desigualdad que tenemos $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ para $N\to +\infty$ya que la convergencia de la expansión de Taylor es uniforme en todos los compactos del disco de convergencia. Darse cuenta de$\sigma(A)$ es de hecho un compacto incluido en $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Usando la definición de $g(A)$, por lo tanto tenemos que $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ con respecto a la norma de $B(H)$. En otras palabras, si$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ en esa topología. Esa es la tesis. QED

Hay otros resultados que pueden probarse de forma análoga y que engloban el caso de $A$ilimitado (densamente definido, cerrado y normal). Si $\psi$ pertenece al espacio de proyección de $\int_{E} 1 dP(z)$, dónde $E \subset C_{R}(z_0)$ es un conjunto de Borel acotado (de modo que $\psi$ es un vector analítico de $A$), entonces $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ donde ahora la convergencia está en la norma espacial de Hilbert.