Desigualdad de probabilidad para la suma de variables aleatorias independientes no negativas
Suponer $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ son variables aleatorias binarias independientes con $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ y definir $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$. Quiero demostrar que para cada$x > 0$, tenemos $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$
Puedo hacer esto por $x \in (0,1]$ señalando que la función $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ es cóncavo para $x$ en este rango, por lo tanto tenemos $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$
donde aplicamos la desigualdad de Jensen para obtener la última desigualdad. Estoy perdido tratando de hacer esto bien para$x > 1$. No podemos volver a aplicar Jensen's porque la función$f(y)$ ahora es convexo en $x \in (1, \infty)$por lo que necesitamos una estrategia completamente diferente. No estoy seguro de si esta es la idea correcta, pero podemos escribir una expresión para la probabilidad exactamente como$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$Sin embargo, no puedo ver nada fructífero en esto. ¡Cualquier ayuda será muy apreciada!
Respuestas
Suponer $x > \mu$, porque si $x \le \mu$, entonces el lado derecho es más grande que $1$.
Sigo la prueba de la desigualdad de Bernstein: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)
Para cualquier $ \theta > 0$, tenemos $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ Ahora $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ Entonces $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ Conjunto $\theta = \log (x/\mu)$.