Despolarización del operador de densidad con ceros en diagonal

Question

Supongo que un estado cuántico con matriz de densidad como la siguiente no es válido. $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. $$

Ahora, digamos que tengo un operador de densidad válido que representa el estado $|\psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1 \rangle)$. $$ |\psi \rangle \langle\psi | = \frac{1}{2}(|0\rangle \langle 0| + |0\rangle \langle 1| + |1\rangle \langle 0| + |1\rangle \langle 1|) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. $$

Ahora envío este estado al canal despolarizante $\mathcal{E}$. Porque$\mathcal{E}$ es lineal: $$ \mathcal{E}(|\psi \rangle \langle\psi |) = \frac{1}{2}(\mathcal{E}(|0\rangle \langle 0|) + \mathcal{E}(|0\rangle \langle 1|) + \mathcal{E}(|1\rangle \langle 0|) + \mathcal{E}(|1\rangle \langle 1|)). $$

Me pregunto cuál es la despolarización de $\mathcal{E}(|0\rangle \langle 1|)$Significaría. Por definición de canal despolarizante, para parámetro de ruido$p$,

$$ \mathcal{E}(\rho) = (1 - p)\rho + \frac{pI}{2}. $$

Pero entonces, ¿cuál es el significado de $\mathcal{E}(|0\rangle \langle 1|)$?

Answer 1

Los canales cuánticos son los principales operadores lineales. Entonces, dada una base para el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt (por ejemplo, los estados$\{|0\rangle\langle 0|,|0\rangle\langle 1|,|1\rangle\langle 0|,|1\rangle\langle 1|\}$que ha elegido anteriormente), donde residen las matrices de densidad, actúa linealmente sobre los elementos base. Quizás, la forma más fácil de verlo es escribirlo en forma Kraus,$$\mathcal{E}(X) = \sum\limits_{j}^{} K_{j} X K_{j}^{\dagger}$$ con $\sum\limits_{j}^{} K_{j}^{\dagger} K_{j} = \mathbb{I}$, donde su acción lineal es más "transparente" (supongo que la forma de escritura de combinación convexa es lo que te confunde aquí). Con esto, la acción de$\mathcal{E}$ en $| 0 \rangle \langle 1 | $ es $\mathcal{E}(| 0 \rangle \langle 1 | ) = \sum\limits_{j}^{} K_{j} | 0 \rangle \langle 1 | K_{j}^{\dagger}$, lo que sea que sea igual.

No hay "significado" de $\mathcal{E}(|0\rangle\langle 1|)$ porque $|0\rangle\langle 1|$no es un estado; así que no se preocupe por interpretarlo.