Determina si $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ converger
Tengo que determinar si $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ converger / divergir.
Mi intuición es que las integrales convergen, porque $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ convergen de la prueba de Dirichlet, por lo tanto, la adición de $ \frac{1}{x} $ no debería ser una gran diferencia para $ x\to\infty $.
Supongo que la forma correcta de demostrarlo es demostrando que $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ está limitado para cualquier $ u $, y luego podría usar la prueba de Dirichlet. Lo intenté y no pude probarlo.
Además, me gustaría escuchar lo que piensas sobre mi prueba de que la integral $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ converger.
Usé la prueba de comparación de límites de la siguiente manera:
$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $
y desde $ 0.8 <1 $ la integral $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ convergen, por lo tanto, la integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ convergen absolutamente.
Agradeceré un poco de ayuda aquí. Gracias por adelantado
Respuestas
Comience con la fórmula de suma de ángulos:
$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$
y observe que la segunda integral impropia es convergente ya que $\sin(1/x)\lt1/x$ (para $x\gt0$) y $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$converge. Por tanto, queda por demostrar que la primera integral impropia también es convergente.
Para hacer esto, use la integración por partes con $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ y $dv=\sin x\,dx$, así que eso $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ y $v=-\cos x$:
$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$
donde las dos últimas integrales impropias son nuevamente convergentes.
En cuanto a la integral impropia de $0$ a $1$, la prueba del OP está bien, pero es más complicada de lo necesario; basta con notar que${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.
Puedes simplemente dejar $x+\frac{1}{x}=z$ y obten $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ dónde $g(z)$ se comporta como $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ en un barrio correcto de $z=2$ y va disminuyendo sobre $z>2$, ya que $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ claramente está disminuyendo en $\mathbb{R}^+$. De ello se deduce que también puede aplicar aquí el lema de Dirichlet.