Duda en el cálculo de la probabilidad.

Aug 20 2020

X e Y son dos jugadores de ajedrez:

  • La probabilidad de que X gane un juego en particular contra Y es $1/3$ y la probabilidad de que Y gane el juego es $2/3$.
  • Juegan una serie de juegos en los que las reglas son tales que X gana dos juegos consecutivos, luego X gana la serie e Y gana la serie es cuando gana $4$ juegos consecutivos.
  • Empiezan el juego y juegan hasta que uno de ellos gana la serie.

Siguiendo estas reglas, ¿cuál es la probabilidad de que Y gane la serie?

Calculé la probabilidad considerando $4/5/6$ total de juegos individualmente, pero no pude encontrar ningún patrón para poder sumarlo a $n$ número de juegos y tienden $n$ hasta el infinito$\ldots$ ese es mi enfoque básico en tales problemas, pero no podría hacer aquí$\ldots$

Respuestas

1 ChristianBlatter Aug 20 2020 at 14:25

Los estados no terminales son $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, donde el nombre $w$expresa las últimas victorias relevantes. Para cada uno de estos estados$w$ tenemos una probabilidad $p_w$ ese $Y$gana la serie . Para estas probabilidades tenemos las siguientes ecuaciones:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Por ejemplo, cuando estamos en estado $YY$, jugador $Y$gana la serie con probabilidad$p_{YY}$. En el próximo juego$Y$ gana con probabilidad ${2\over3}$ y entonces estamos en estado $YYY$y $Y$ pierde con probabilidad ${1\over3}$, y entonces estamos en estado $X$. De esta forma obtenemos la ecuación$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

Resolver este sistema da la probabilidad inicial $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$