Ejemplo de isomorfismos de álgebras de Lie

Question

Estoy buscando un ejemplo de un álgebra de mentiras isomorfo. 2 álgebras son isomorfas, si existe una función lineal biyectiva$g_1 \rightarrow g_2$ que mapea todos $X,Y \in g_1$ me gusta $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Entonces, 2 álgebras de Lie que podría pensar serían el producto cruzado en ${\rm I\!R}^3$ y el álgebra del conmutador de un campo vectorial invariante a la izquierda, pero no puedo pensar en una función que los asigne como dije antes.

Answer 1

Ejemplos, ordenados aproximadamente de fácil a difícil:

1. Dejar $\mathfrak g$sea ​​cualquier álgebra de mentira. El mapa de identidad$x \mapsto x$ es un isomorfismo de $\mathfrak g$ a sí mismo.

2. Dejar $V$, $W$ ser espacios vectoriales sobre un campo $k$, y defina los corchetes de Lie en ellos como $[v_1, v_2] = 0$ y $[w_1,w_2]=0$ para todos $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Demuestre que las álgebras de Lie$V$ y $W$ (con estos corchetes) son isomorfos si y solo si $V$ y $W$tienen la misma dimensión. (Esto debería ser solo una comprobación de que comprende los isomorfismos de los espacios vectoriales, la base absoluta del álgebra lineal).

3. Dejar $k$ ser cualquier campo y $\mathfrak{gl}_n(k)$ el álgebra de Lie dada por todos $n \times n$-matrices sobre $k$, con el corchete de Lie dado por el conmutador de matriz $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (dónde $\cdot$es la multiplicación de matrices habitual). Dejar$g$ser cualquier invertible $n\times n$-matriz sobre $k$, es decir, un elemento de $\mathrm{GL}_n(k)$. Muestra que el mapa$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ es un isomorfismo de $\mathfrak{gl}_n(k)$a sí mismo, es decir, un auto morfismo de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

4. Dejar $\mathfrak{gl}_n(k)$sea ​​como en el ejemplo anterior. El mapa que envía cada matriz a su transposición negativa,$$ A \mapsto -A^T$$ es un isomorfismo de $\mathfrak{gl}_n(k)$a sí mismo, es decir, un auto morfismo de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

5. Dejar $k$ ser cualquier campo, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ un bidimensional $k$-espacio vectorial con base $v_1, v_2$ y soporte de mentira $[v_1, v_2] = v_2$. Dejar$\mathfrak g_2$ ser otro bidimensional $k$-espacio vectorial con base $w_1,w_2$ y $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Encuentra un isomorfismo de las álgebras de Lie$\mathfrak g_1$ y $\mathfrak g_2$.

6. Dejar $\mathfrak g_1$ y $\mathfrak g_2$ ser como en el ejemplo anterior, excepto que ahora el corchete de Lie en $\mathfrak g_2$ es dado por $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ dónde $c \in k^\times$ y $a \in k$. De nuevo encuentra un isomorfismo$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Para este y el ejemplo anterior, cf. Clasificación de álgebras de 1 y 2 dimensiones, hasta el isomorfismo , cómo obtener un isomorfismo explícito (definido explícitamente) entre dos álgebras de Lie no belias de dimensión$2$, Bidimensional álgebra de Lie , de dos dimensiones álgebra de Lie - ¿qué sabemos sin saber el soporte? )

7. Dejar $k$ ser cualquier campo de característica $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ el álgebra de mentira de traceless $2 \times 2$-matrices (con corchete de Lie como en el ejemplo 3). Dejar$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (la "forma dividida de $\mathfrak{so}_3$") también con el corchete de Lie dado por el conmutador de matriz. Encuentre un isomorfismo entre estas dos álgebras de Lie. (Compare las álgebras de Lie$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ y $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Prueba directa de que$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Un isomorfismo explícito entre el álgebra de mentira ortogonal tridimensional y el álgebra de mentira lineal especial de dimensión$3$ y enlaces allí.)

8. Dejar $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (un subespacio real tridimensional del $2 \times 2$matrices complejas); convéncete de nuevo de que con el corchete de Lie dado por el conmutador de matriz (como en el ejemplo 3), esto es un álgebra de Lie. Demuestre que es isomorfo$\mathbb R^3, \times$es decir, el álgebra de Lie real tridimensional con paréntesis de Lie dada por el producto cruzado. (Compare ¿Por qué hay un factor de$2$ en el isomorfismo $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Esto parece ser a lo que alude en la pregunta).

9. Encuentra un isomorfismo entre $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ y el sesgo simétrico $4\times 4$ matrices sobre $\mathbb C$. (Cf. Isomorfismo explícito entre el álgebra de Lie ortogonal de cuatro dimensiones y la suma directa de álgebras de Lie lineales especiales de dimensión 3. )

10. Encuentre un isomorfismo entre la suma directa de simétrico sesgado $3 \times 3$ matrices reales consigo mismo, y el$4 \times 4$matrices simétricas sesgadas reales. (Cf. Isomorfismo entre$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ y $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

11. Xa $\mathfrak g$un álgebra de Lie real, la extensión / complexificación escalar $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ es un álgebra de Lie compleja con paréntesis de Lie dada por la extensión bilineal de $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Fácil: demuestre que la complejidad de$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ es isomorfo a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Más difícil: para$\mathfrak{su}_2$ como se define en el ejemplo 8, muestre que la complexificación $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ también es isomorfo a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bono: demuestre que a pesar de eso, las verdaderas álgebras de Lie$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ y $\mathfrak{su}_2$no son isomorfos entre sí. (Compare la conexión precisa entre la complejificación de$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ y $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, ¿Son las complejizaciones del álgebra de Lie$\mathfrak g_{\mathbb C}$ equivalente a las estructuras del álgebra de Lie en $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , y probablemente muchos más.)

Además, intente encontrar isomorfismos del álgebra de Lie .