Ejemplo elemental para la forma indeterminada $1^\infty$

Question

Estoy hablando de matemáticas con un brillante estudiante de secundaria, que ni siquiera ha visto logaritmos en clase todavía. (Hemos introducido con éxito registros como la inversa de exponenciación.) Ella está intrigada por este video y las formas indeterminadas. Hemos discutido cómo "$1^\infty$"es realmente lo mismo que"$0/0$".

Ahora me gustaría discutir un ejemplo de "$1^\infty$". Lamentablemente, todos los ejemplos que se me ocurren y todo lo que encuentro en Internet utilizan ese$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ como $t\to 0$, que es " un hecho bien conocido ", o una aplicación de la regla de L'Hospital, ambas cosas que encuentro insatisfactorias.

¿Existe un ejemplo no trivial para el "$1^\infty$"forma indeterminada (no solo $1^t$ para $t\to\infty$) que se puede analizar usando solo la definición del logaritmo como la función inversa a la exponenciación, sin cálculo o hechos que tendría que sacar de un sombrero?

Answer 1

Quién puede olvidar el ejemplo clásico:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Si nos expandimos $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ con el teorema del binomio y comparar términos con potencias correspondientes de $1/n$ para diferentes valores de $n$, encontramos que esta función aumenta a medida que $n$ aumenta sin límite, pero la función está limitada por la serie convergente

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Así que el límite está garantizado para existir y, por lo tanto, se puede definir como $e$, de donde la regla $[\ln(1+x)]/x\to1$ como $x\to 0$ sigue.

Answer 2

¿Por qué no arreglar $k>0$ (p.ej $k=2$) y mira $(k^{1/n})^n$?

Es bastante claro intuitivamente que $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ como $n\to\infty$; por otro lado, claramente$n\to\infty$ cuando $n\to\infty$. Por lo tanto, tienes el caso$1^\infty$ que en realidad converge a $k$ (y no solo converge a $k$pero es constante ), que eligió arbitrariamente para empezar.

Ahora esto es fácil de expandir con $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ o $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, que convergen en $0$ y $\infty$ (en algún orden, siempre que $k\ne 1$).

Answer 3

Nosotros buscamos $f,\,g$ con $f\to1,\,g\to\infty$, saya s $x\to0$, de modo que $f^g$ puede tener cualquier límite $L\in[0,\,\infty]$o ninguno. Ejemplos:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ para $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ para $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ para $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ para $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ para $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ para $\lim_{x\to0}f^g$ ser indefinido.

El reemplazo $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ muestra $1^{-\infty}$ funciona de la misma manera, pero nadie lo enumera por separado.