Ejemplo sencillo de la$\sigma$-campo generado por una variable aleatoria (Comprobación de concepto)

Aug 21 2020

$\Omega = \{ {\omega_1, \omega_2,\omega_3} \}$donde cada estado es igualmente probable.

Existen dos variables aleatorias$\widetilde{x}$y$\widetilde{y}$que son funciones de estos estados:

$\widetilde{x}(\omega_i)=a_i$dónde$a_1 \neq a_2 \neq a_3$

y

$\widetilde{y}(\omega_1) = b_1$y$\widetilde{y}(\omega_2) = \widetilde{y}(\omega_3)=b_2.$

La pregunta es, ¿cuál es el$\sigma$-campo generado por$\widetilde{y}?$

creo que la respuesta es$F = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3 \} \}$por las siguientes razones:

  1. $A \in F \subseteq \Omega $
  2. $A \in F \implies A^c \in F$
  3. La intersección de cualquier número de los elementos de$F$es un elemento de$F$.
  4. La unión de cualquier número de los elementos de$F$es un elemento de$F$
  5. $\omega_2$y$\omega_3$son indistinguibles unos de otros por lo que no necesitamos incluir$\{\omega_2\}$ni$\{\omega_3\}$en$F$.

¿Es eso correcto?

Además, dado que la pregunta es sobre$\widetilde{y}$cualquier información sobre$\widetilde{x}$es irrelevante, ¿verdad?

Además, la probabilidad de cada estado del mundo también es irrelevante cuando se considera el$\sigma$-campo, ¿verdad?

Respuestas

7 whuber Aug 21 2020 at 03:47

Tienes razón, pero podrías apreciar saber cómo encontrar este campo sigma usando la definición:

El campo sigma generado por una variable aleatoria$X:\Omega\to\mathbb{R}$consta de todas las imágenes inversas$X^{-1}(B)$de los conjuntos de Borel$B\subset \mathbb{R}.$

Porque$y$solo tiene dos valores posibles$b_1$y$b_2,$hay exactamente cuatro tipos de conjuntos de Borel$B$relevante para$y:$

  1. $b_1\in B$y$b_2\in B.$En este caso,$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}= \Omega.$

  2. $b_1\in B$pero$b_2\notin B.$Ahora$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_1\}.$

  3. $b_1\notin B$aún$b_2\in B.$Ahora$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_2,\omega_3\}.$

  4. $b_1\notin B$y$b_2\notin B.$Claramente$y^{-1}(B) = \emptyset.$

Eso es todo, hemos enumerado precisamente los elementos que diste para$\mathfrak F.$

(De forma implícita, hemos utilizado el hecho de que los conjuntos de Borel forman un campo sigma; todo número real es un elemento de algún conjunto de Borel; y dos números reales distintos cualesquiera pueden estar separados por un conjunto de Borel en el sentido de que uno de ellos está dentro el conjunto y el otro está fuera de él.)

Algunas cosas para observar y recordar:

  • No tienes que demostrar las propiedades.$(1)-(4)$(en su pregunta) de un campo sigma. Debido a que los conjuntos de Borel de$\mathbb R$forman un campo sigma, necesariamente la colección de sus imágenes inversas bajo$y$forma un campo sigma. Eso se prueba usando la teoría básica de conjuntos y solo tienes que probarlo una vez, no cada vez que trates con una variable aleatoria.

  • El campo sigma para$y$es generado por las imágenes inversas de cualquier pi-sistema que genera los conjuntos de Borel de$\mathbb R.$Un sistema pi estándar consiste en los conjuntos de la forma$(-\infty, a]$que se utilizan para definir funciones de distribución. Aunque esta observación no habría simplificado este ejercicio, simplifica enormemente las consideraciones que involucran variables aleatorias más complicadas.

  • Los campos sigma son lógicamente anteriores a las probabilidades: no puede definir una probabilidad hasta que tenga un campo sigma. Piénselo de esta manera: el campo sigma es una declaración (por usted, el modelador) de los eventos a los que puede asignar probabilidades. ¡No puede hacer esas asignaciones hasta que sepa cuáles son estos eventos! (La necesidad de esto surge en situaciones complejas donde hay infinitas variables aleatorias para analizar: es decir, para procesos estocásticos en conjuntos de índices infinitos).