¿El conjunto es un grupo?
Dejar $A$ ser un conjunto no vacío, $+$ es una operación binaria asociativa y para cada $a$ en $A$, los dos mapas
- $A \to A$ que envía $x$ a $x+a$
- $A \to A$ que envía $x$ a $a+x$
son mapas biyectivos. La pregunta es determinar si$(A, +)$ un grupo o no?
Mi entendimiento que $A$ es un grupo si tiene una identidad y cada elemento tiene inversa, pero no estoy muy seguro de cómo usar estos mapas biyectivos para probar / refutar que $A$ es un grupo.
Respuestas
Elemento neutral (identidad)
Arreglar un elemento arbitrario $a$. Desde el mapa$x \to a + x$ es biyectivo, el elemento $a$ tiene exactamente una preimagen debajo de este mapa, es decir, existe un elemento único $e$ tal que $a + e = a$.
El siguiente paso es demostrar $\forall y: y + e = y$. Elija un arbitrario$y$. Por bijetividad del mapa$x \to x + a$ existe un $x$ tal que $x + a = y$. Ahora, agregando$x$ a la izquierda a la igualdad $a + e = a$ (y usando asociatividad) obtenemos $y + e = y$, qed.
Entonces, $e$es un elemento neutro a la derecha. Entonces nota que$e + e = e$, y con el mismo argumento anterior $e$ también es un elemento neutral izquierdo.
Inversos
Finalmente, necesitamos probar la existencia de inversas. Elija un arbitrario$x$. Por la sobrejetividad de la suma izquierda y derecha, existen elementos$y_1$ y $y_2$ tal que $y_1 + x = e$ y $x + y_2 = e$. Ahora nota que
$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$
Por lo tanto, $y_1$ (cual es también $y_2$) es inverso para $x$.
Debe haber un elemento de identidad único:
Hay un único $e_a$ para cada $a$ tal que $ae_a=a$.
Ahora tomando lo único $c$ tal que $ca=b$, lo entendemos $cae_a=be_a$ y tambien que $cae_a=ca=b$, así que eso $be_a=b$ y por lo tanto $e_a=e_b$.
Así tenemos que hay un derecho inverso único. De manera similar, hay una única inversa a la izquierda. Ahora tenemos que demostrar que los dos son iguales. Pero eso es fácil, ya que$e_le_r=e_r=e_l$.
Ahora bien, la bijetividad implica que debe haber un $x_a$ tal que $ax_a=e$. Y de manera similar hay una$y_a$ tal que $y_aa=e$. Pero entonces$y_aax_a=x_a=y_a$.
Por lo tanto, hemos cumplido las cuatro condiciones para un grupo, ya que el cierre y la asociatividad se dan esencialmente.
Al menos por finito $A$, eso sí, basta con tener un grupo.
Llamada $\theta_a$ y $\gamma_a$, respectivamente, los mapas de traslación izquierda y derecha por un elemento fijo $a\in A$. Ahora, por suposición,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ y (asociatividad) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Por lo tanto (cierre)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, y por lo tanto $\exists \tilde e\in A$ tal que $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Asimismo, ser$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ tal que $\gamma_{\hat e}=Id_A$; pero$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ y por lo tanto las identidades de la izquierda y la derecha coinciden, digamos $e:=\tilde e=\hat e$.
Ahora, desde $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, entonces $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ tal que $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ o equivalente, $a\tilde b=\hat ba=e$; de este último obtenemos, por ejemplo, $\hat ba=a\hat b$, de donde $a\tilde b=a\hat b$ o equivalente, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, y finalmente $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.