¿El morfismo entre dominio integral y campo es inyectivo?
Acabo de leer en las notas de mi álgebra lineal la siguiente declaración: Sea A un dominio integral y K un campo. Cualquier morfismo de anillo distinto de cero$\phi : A \to K$ es inyectable.
Creo que esta afirmación es falsa al considerar el morfismo $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Este es un morfismo entre un dominio integral y un campo pero claramente no inyectivo.
Entonces, ¿la declaración es incorrecta? Estoy bastante seguro del contraejemplo, pero cada vez que no estaba de acuerdo con las notas de mi profesor, me equivocaba.
Respuestas
Estás en lo correcto. Aquí hay dos posibilidades de lo que debería haber sido la declaración:
Cualquier morfismo de $K \to A$ es inyectivo (porque el kernel es un ideal de $K$ y los únicos ideales son $(0)$ y $(1) = K$). No importa tanto que$A$ es un dominio integral aquí aparte de saber que $A \neq 0$. Si$A$ fueron $0$ entonces $K \to 0$ no es inyectable.
El mapa $A \to \operatorname{Frac}(A)$ es inyectable.