El teorema de mapeo abierto puede fallar si el codominio no es Banach
Da un ejemplo de un espacio Banach $V$, un espacio normado $W$, un mapa sobreyectivo lineal acotado $T: V \to W$ y un subconjunto abierto $G \subseteq V$ tal que $T(G)$ no está abierto en $W$.
Intento : considerar$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ y $T: V \to V: f \mapsto f$. Claramente$T$ es una sobreyección lineal con $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$
entonces $\Vert T \Vert \leq 1$ y $T$está ligado. Además, tenemos$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.
Ahora mostramos que $G= B_\infty(0,1)$ no está abierto para $\Vert \cdot \Vert_1$. De hecho, supongamos lo contrario que$0$ es un $\Vert \cdot \Vert_1$-punto interior de $G$. Entonces hay$\epsilon > 0$ tal que
$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$
Por lo tanto, para $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ tenemos $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$
Es decir $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ para $f \in C([0,1])$. Pero luego las normas$\Vert \cdot \Vert_1$ y $\Vert \cdot \Vert_\infty$ son equivalentes, lo que implica que $W$es Banach. Ésta es una contradicción.
Pregunta : ¿Es correcto mi intento?
Respuestas
Sí, tu intento es correcto.
La equivalencia de las normas requiere ambas desigualdades, por lo que sería bueno mencionar eso.
Creo que también podría mejorarse explicando por qué $W$ no es un espacio de Banach.