Encontrar un punto entre la intersección de dos planos

Question

Al hacer el ejercicio de encontrar una línea entre dos intersecciones de planos, necesitamos encontrar un vector de punto y dirección de la línea. El vector de dirección es fácil porque es perpendicular a las dos normales, pero estoy un poco confundido acerca de cómo tomar el punto.

Supongamos que se nos diera la ecuación de dos planos,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

Y,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Para encontrar un punto a lo largo de la línea de intersección, a menudo se le indica que ponga una de las coordenadas como cero, digamos $x, y$ o $z$y luego resuelva para las coordenadas restantes. Pero, no estoy seguro de por qué hacemos esto, como en, ¿cómo sabemos que la línea entre la intersección de dos líneas siempre debería tener$x$ , $y$ y $z$ intercepta?

Vi esta publicación pero no pensé que abordara mi consulta y tampoco fue abordada en esta

Answer 1

Suponer que $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Entonces puede reformular el problema de la siguiente manera:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ y resolver para $x$ y $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Esto demuestra que para cualquier $z=t\in{\Bbb R}$ obtienes una solución única para $x$ y $y$. Lo que sucede aquí es que la intersección de los dos planos$P_1,P_2$ con el avion $z-t=0$ proporciona dos líneas no paralelas (debido al determinante AB distinto de cero) en el $x-y$avión. Por tanto, estas dos líneas tienen un punto de intersección único.

Ahora, cuando su determinante AB anterior es cero (entonces sus dos líneas en el $x-y$ plano son paralelos) entonces puede buscar un no cero $B-C$ matriz (y resolver para $y,z$) o un distinto de cero $C-A$ matriz (y resolver para $z,x$). Si todos estos determinantes son cero, entonces sus dos planos originales son de hecho paralelos, por lo que la intersección está vacía o es un plano.

Tenga en cuenta que los tres determinantes que calcula son de hecho el componente del producto cruzado de los vectores normales para los planos, por lo que el producto cruzado que no se desvanece es de hecho una condición para que la intersección sea una línea.

Answer 2

Uno podría resolver estas preguntas asumiendo cualquiera de $(x,y,z)$para ser cero, o mantener uno como constante. La intuición detrás de mantener uno de ellos cero es que, la mayoría de las veces, las líneas que obtenemos no son paralelas a un plano, por lo que definitivamente deben cruzarse.

Cuando no es ese caso, mantener la variable cero produciría un par de ecuaciones lineales inconsistentes.