Encuentra todas las funciones $f$ tal que $f(mn) = f(m)f(n)$ y…

Question

Encuentra todas las funciones $f : N → N$ tal que

(un) $f(2) = 2$

(segundo) $f(mn) = f(m)f(n)$ para todos $m, n ∈ N$

(C) $f(m) < f(n)$ para $m < n$

Primero, lo sustituí $m=1,n=2$ Llegar $f(1)=1$. A continuación, podemos notar fácilmente que todos los poderes de$2$serán iguales a ellos mismos. Es decir$f(4)=4,f(8)=8$, y así. Ahora, el siguiente paso del que no estoy tan seguro es correcto. Como$f(4)>f(3)>f(2)$y $f : N → N$, Yo creo que $f(3)$ Solo puede ser $3$pero de nuevo no estoy tan seguro. Si es así, creo que la única función posible es$f(x)=x$.

Ahora para la siguiente parte del problema.

¿Qué pasa si no se nos da la tercera condición?

Desafortunadamente, ni siquiera tengo la respuesta al problema y mucho menos una solución. Cualquier sugerencia también sería útil, gracias.

Answer 1

Más fácilmente :

Si $f(1)=1$ y $f(2^n)=2^n$, y porque tienes $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

la única posibilidad es que $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ y así.