endomorfismo lineal entre$V$y doble de$V$

Question

Dejar$V$ser un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo$K$.$V^*=\{l:V\to K\}$.

Demostrar$\operatorname{End}(V)$lineal isomorfo a$\operatorname{End}(V^*)$.

Mi intento: ya que para el espacio vectorial de dimensión finita$\dim V^*=\dim V$

por lo que son linealmente isomorfos por$\psi:V\to V^*$.

Entonces elemento dado$T\in \operatorname{End}(V)$podemos encontrar$\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$es fácil comprobar que es un endomorfismo lineal.

Y el mapa está puesto que para cualquier$\hat{T}$podemos construir$T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. es inyectable desde$\hat{T} = 0$implica$T = 0$es el mapa cero, por lo que tiene un núcleo trivial.

Finalmente tenemos que mostrar$\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$también es lineal. es decir$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$por definición de$\hat{T}$se mantiene.

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Tu prueba es correcta. Sin embargo, existe otro isomorfismo en el espacio vectorial entre$\operatorname{End}(V)$y$\operatorname{End}(V^*)$que no requiere un isomorfismo$V \rightarrow V^*$. Es decir, mapa$A \in \operatorname{End}(V)$a$A^* \in \operatorname{End}(V^*)$definiendo$(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Aquí,$ x\in V$y$\phi \in V^*$.

Answer 2

quieres mapear$T\colon V\to V$a un mapa lineal$V^*\to V^*$y hay una manera obvia de hacerlo, a saber, mapear$T$a su trasposición$T^*$. Sin embargo, esto define un antiisomorfismo , porque$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Obtienes un isomorfismo usando eso, cuando$\dim V=n$, usted obtiene$V\cong M_n(K)$(el anillo de$n\times n$matrices) a través de la elección de una base. Termina la transitividad del isomorfismo.