Es cada elemento de $\mathbb{R}$ un miembro de $\mathbb{Q}$ junto con un número finito de miembros de su base de trascendencia?

Question

Recientemente me ha interesado crear soluciones algo no constructivas a problemas utilizando el concepto de una base de trascendencia de$\mathbb{R}$ encima $\mathbb{Q}$, que existe asumiendo el axioma de elección, pero solo conozco algo de teoría de campo básica. Como parte de mi creciente comprensión, pregunto:

Dejar $W$ ser la base de la trascendencia para $\mathbb{R}$ encima $\mathbb{Q}$. Es cierto que$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? ¿Qué pasa si reemplazamos "finito" por "contable"?

Answer 1

Quizás me esté perdiendo algo, pero, citando, por ejemplo, de esta publicación de MSE :

un conjunto $T$ de elementos de un campo de extensión $k/F$es una base de trascendencia si

1. para todos $n$y distinto $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, no hay polinomio distinto de cero $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ tal que $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
2. $k$ es algebraico sobre $F(T)$.

Entonces un elemento como $\sqrt{2}$ no estará en ninguno de tus $\mathbb{Q}(w)$.

Answer 2

Editar . Esta respuesta es incorrecta. Leo "base de trascendencia" como "base del espacio vectorial". Creo que la respuesta de @AndreasCaranti es correcta. Dejaré el mío para que nadie más cometa el mismo error.

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Sí, ya que cada elemento de $\mathbb{R}$ es un finito $\mathbb{Q}$-Combinación lineal de elementos básicos. Eso significa que está en la unión de las extensiones correspondientes.