Es $U = V$ en la SVD de matrices simétricas?

Question

Considere la SVD de matriz $A$:

$$A = U \Sigma V^\top$$

Si $A$ es una matriz real simétrica, ¿hay garantía de que $U = V$?

Hay una pregunta similar aquí que también postula$A$es positivo semi-definido. Pero me pregunto si$U$ sería igual a $V$ Si $A$ es simétrico?

Answer 1

No: si $\Sigma$ es diagonal con entradas no negativas, entonces $U \Sigma U^T$será necesariamente semidefinito positivo. De hecho, observamos que para cualquier vector de columna$x$, tenemos $$ x^\top(U\Sigma U^\top)x = (U^\top x)^\top \Sigma (U^\top x) \geq 0. $$

Answer 2

En esta pregunta, $A$ es simétrico y, por tanto, debe ser cuadrado.

Sin embargo, en el caso general, si $A$ no es una matriz cuadrada, se puede convertir en una matriz cuadrada $AA^T$ o $A^TA$y se puede realizar una descomposición propia para obtener los componentes de la SVD. los$V$ son vectores propios de $A^TA$ y el $U$ son vectores propios de $AA^T$. Los valores singulares en$\Sigma$ son las raíces cuadradas de los valores propios distintos de cero de $A$. De aquí (la raíz cuadrada de los valores propios) es de donde proviene la condición semidefinida positiva para que la SVD sea equivalente a la descomposición propia. Ver La SVD y la EVD enhttp://www.math.kent.edu/~reichel/courses/intr.num.comp.1/fall11/lecture7/svd.pdf para una explicación más detallada.

[Editado para incorporar el comentario de Joppy.]

Answer 3

Si $A=USU^T$ es un SVD, $A$ tiene que ser semidefinido positivo, como se muestra en otra respuesta aquí.

Lo contrario no es cierto. Si$A$ es positivo semidefinito y $A=USV^T$ es un SVD, $U$ no es necesariamente igual a $V$. P.ej$A=U0V^T$ es un SVD para dos matrices unitarias cualesquiera $U$ y $V$.

Sin embargo, si $A$ es positivo definido, debemos tener $U=V$en su SVD, como se muestra en las respuestas a Is$U=V$ en la SVD de una matriz semidefinida positiva simétrica?