escapar del avión
Un domingo por la mañana, te despiertas y te encuentras completamente solo en un plano infinito y plano. No recuerdas mucho sobre la noche anterior, aparte de que es posible que hayas cabreado a un mago. Junto a ti, encuentras una paleta con infinitos colores contables y una nota que te ordena así:
Debes pintar todos los puntos de este plano, de manera que nunca podré encontrar un triángulo con vértices del mismo color y área racional.
Si puede realizar esta tarea, el asistente lo dejará libre; si falla, quedará atrapado para siempre. No dudas de las habilidades del mago, así que no hay trucos baratos aquí. Teniendo en cuenta el problema, se pone a trabajar, y una cantidad incontablemente infinita de tiempo después, el mago está a su lado, admirando su trabajo manual.
¿El mago te libera?
EDITAR: para eliminar las respuestas de pensamiento lateral basadas en el encuadre de la pregunta, aquí hay una declaración matemática formal del rompecabezas:
¿Existe una coloración de$\mathbb{R}^2$tal que es imposible encontrar un triángulo con vértices del mismo color y área racional?
Respuestas
Supertarea muy interesante.
En un plano 2D, tres puntos no colineales cualesquiera forman un triángulo, así que solo usa 2 puntos de cada color. Porque tienes infinitos colores, nunca te quedarás sin colores. Sin embargo, esto no nos salva de nuestra desaparición, ya que esta tarea tomaría una cantidad de tiempo incontable, dejándonos atrapados en el avión. Entonces, tenemos que abordar esto como una supertarea. Pinte el primer punto en 1 minuto, pinte el segundo punto en la mitad de tiempo, pinte el tercero en la mitad del segundo, etc. ¡plano!
Editar:
La solución anterior se encuentra con el problema de que te quedas sin colores porque hay un número incontablemente infinito de puntos en$\mathbb{R}^2$y hay un número numerable infinito de colores. Puedo acercarme un poco más aumentando los colores de mi número. En lugar de pensar en los colores como las manchas de pintura discretas que me ha dado el asistente, ahora consideraré la longitud de onda de la luz que refleja el pigmento (sin tener en cuenta cómo funciona la mezcla de pintura aquí). Ahora, en cada paso de la supertarea, mezcle las pinturas para obtener un nuevo color (por ejemplo, en el paso 1 usa pintura con$700nm$, en el paso 2 usas pintura con$700.\bar01nm$, etc.). Ahora tienes un número incontablemente infinito de colores de pintura. Sin embargo, siento como si el avión estuviera lleno de infinitos puntos bidimensionales.$\mathbb{R}^2$, mientras que solo tengo pinturas con$\mathbb{R}>0$, por lo que todavía no tengo suficientes colores.
Seguro que esto es sencillo
Tienes una infinidad de colores por lo que usas cada color una sola vez. No ha especificado si los 'puntos' son puntos verdaderos. Si son puntos verdaderos en un plano, entonces no tienen dimensión, por lo que no puedes pintarlos. No se puede utilizar ni siquiera 1 molécula de pintura.
o
Si puede realizar esta tarea, el asistente lo dejará libre; si falla, quedará atrapado para siempre.
Dado que la tarea llevará una eternidad, estarás atrapado para siempre haciendo la tarea, no, el asistente no te liberará.
o
Pintas líneas rectas de un solo color paralelas infinitamente largas. No habrá triángulos que tengan tres vértices del mismo color.