Explicar lo que significa que un polinomio sea irreducible sobre F
Sea F un campo y sea F [x] el anillo de polinomios en una x indeterminada con coeficientes en F. Explique lo que significa que un polinomio g (x) en F [x] sea irreductible sobre F.
Estoy pensando así (muy importante para hacerlo bien):
Significa que el polinomio de grado n> = 1 con coeficientes en un campo F se dice que es irreducible sobre F si no puede escribirse como un producto de dos polinomios no constantes sobre F de grado menor que n.
¿Suficiente para hacerlo bien? ¿O tal vez agregar una línea sobre todos ellos como primos?
Respuestas
No es necesario indicar que tiene una factorización en números primos con al menos dos factores, pero es equivalente para anillos polinomiales.
En un anillo general, un elemento $r$es irreductible si, siempre que se escribe como$r=ab$, exactamente uno de $a$ y $b$es invertible. Escritura$r\mid a$ si existe $b$ tal que $r=ab$, otra forma de decir esto es que $r$ es irreductible si, cuando $a\mid r$, $r\mid a$.
Esto es diferente a primar, que es: $r$es primo si$r$ no es cero de invertible y, siempre que $r\mid ab$, $r\mid a$ o $r\mid b$.
En un dominio integral (con unidad) $R$, todo primo es irreductible, pero no todo irreductible necesita ser primo. Para ver que todo primo es irreductible, supongamos que$r$ es primo y $r=ab$. Ya que$r=ab$, ciertamente $r\mid ab$. Así$r\mid a$ o $r\mid b$, sin pérdida de generalidad $r\mid a$. Así$a=rs$ para algunos $s$, y por lo tanto $$ r=ab=rsb.$$ Ya que $R$ es un dominio integral y $r(1-sb)=0$, vemos eso $sb=1$. En particular,$b$ es invertible, de modo que $r$ es irreductible.
Los anillos en los que todo irreductible es primo son dominios de factorización únicos o UFD. Esto es equivalente a la afirmación de que cada elemento$r\in R$tiene una factorización en irreductibles, y los irreducibles que aparecen en esta factorización son únicos hasta reordenar y multiplicar por elementos invertibles.
Los anillos polinomiales (en potencialmente muchas variables) sobre campos son ejemplos de UFD, por lo que para los anillos polinomiales existen múltiples definiciones potenciales de irreductible.