Hallazgo $\mathbb E(X\mid Y)$ dónde $P(X > t) =e^{−t}$ con $t >0$ y $Y=\min(X,t)$

Nov 09 2020

Encontrar $\mathbb E(X\mid Y)$ dónde $X$ es una variable aleatoria tal que $P(X > t) =e^{−t}$ con $t >0$ y $Y=\min(X,t)$.

No he hecho ningún problema antes donde condicionemos el valor mínimo o máximo. Pensé en dividirlo en casos de la siguiente manera:

$$\mathbb E(X\mid X>t)\mathbb P(X>t)+\mathbb E(X\mid X<t)\mathbb P(X<t)$$

pero esto da $\mathbb E(X)$ más bien que $\mathbb E(X\mid Y)$. Intenté pensar en esto conceptualmente, pero lo que hace que este problema sea complicado es que (si entiendo el problema correctamente) no se nos dice si$X<t$ o $X>t$sino que solo se nos da el menor de los dos valores. Si se nos da (sin saberlo) la información que$Y=\min\{X,t\}=t$ con probabilidad $e^{-t}$ luego por la propiedad sin memoria, $\mathbb E(S\mid t)=t+1$ y si se nos da (sin saberlo) la información que $Y=\min\{X,t\}=X$ con probabilidad $1-e^{-t}$ entonces $\mathbb E(X\mid X=x)=x$ así que eso

$$\mathbb E(X\mid Y)=(t+1)e^{-t}+x\left(1-e^{-t}\right)$$

pero aquí básicamente estoy haciendo lo mismo que el anterior, así que no estoy seguro de cómo pensar correctamente sobre este tipo de problema. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Respuestas

4 MatthewPilling Nov 09 2020 at 09:04

Primero observe que $Y=\min\{X,t\}$ es compatible con $(0,t]$ y eso $E(X|Y=y)$ es necesariamente una función de $y$. Por un lado, si$y\in (0,t)$, tenemos $\{Y=y\}=\{X=y\}$ dándonos $$E(X|Y=y)=E(X|X=y)=y$$ Por otro lado, si $y=t$, entonces $\{Y=t\}=\{X\geq t\}$ entonces en este caso $$E(X|Y=y)=E(X|X \geq t)$$ El RHS evalúa $$\int_{t}^{\infty}\frac{xf_X(x)}{P(X\geq t)}dx=t+1$$ Aquí estamos usando el hecho de que $X\sim \text{Exponential}(1)$.