Hallazgo $\mathbb E(X\mid Y)$ dónde $P(X > t) =e^{−t}$ con $t >0$ y $Y=\min(X,t)$
Encontrar $\mathbb E(X\mid Y)$ dónde $X$ es una variable aleatoria tal que $P(X > t) =e^{−t}$ con $t >0$ y $Y=\min(X,t)$.
No he hecho ningún problema antes donde condicionemos el valor mínimo o máximo. Pensé en dividirlo en casos de la siguiente manera:
$$\mathbb E(X\mid X>t)\mathbb P(X>t)+\mathbb E(X\mid X<t)\mathbb P(X<t)$$
pero esto da $\mathbb E(X)$ más bien que $\mathbb E(X\mid Y)$. Intenté pensar en esto conceptualmente, pero lo que hace que este problema sea complicado es que (si entiendo el problema correctamente) no se nos dice si$X<t$ o $X>t$sino que solo se nos da el menor de los dos valores. Si se nos da (sin saberlo) la información que$Y=\min\{X,t\}=t$ con probabilidad $e^{-t}$ luego por la propiedad sin memoria, $\mathbb E(S\mid t)=t+1$ y si se nos da (sin saberlo) la información que $Y=\min\{X,t\}=X$ con probabilidad $1-e^{-t}$ entonces $\mathbb E(X\mid X=x)=x$ así que eso
$$\mathbb E(X\mid Y)=(t+1)e^{-t}+x\left(1-e^{-t}\right)$$
pero aquí básicamente estoy haciendo lo mismo que el anterior, así que no estoy seguro de cómo pensar correctamente sobre este tipo de problema. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!
Respuestas
Primero observe que $Y=\min\{X,t\}$ es compatible con $(0,t]$ y eso $E(X|Y=y)$ es necesariamente una función de $y$. Por un lado, si$y\in (0,t)$, tenemos $\{Y=y\}=\{X=y\}$ dándonos $$E(X|Y=y)=E(X|X=y)=y$$ Por otro lado, si $y=t$, entonces $\{Y=t\}=\{X\geq t\}$ entonces en este caso $$E(X|Y=y)=E(X|X \geq t)$$ El RHS evalúa $$\int_{t}^{\infty}\frac{xf_X(x)}{P(X\geq t)}dx=t+1$$ Aquí estamos usando el hecho de que $X\sim \text{Exponential}(1)$.