Ideal del límite de$G/U \subset \overline{G/U}$
Dejar$G$sea un grupo algebraico semi simple,$B \subset G$es un subgrupo de Borel y$U \subset B$es el radical unipotente de$B$. Podemos considerar la variedad$G/U$. Denotemos también$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Se sabe que el morfismo natural$G/U \rightarrow \overline{G/U}$es una incrustación abierta. Dejar$\partial{G/U}$ser el límite de$G/U$en el interior$\overline{G/U}$. Tenga en cuenta ahora que$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, donde la suma pasa por los caracteres dominantes$\mu$de$G$(arreglamos algunos toros máximos$T \subset B$, aquí$V(\mu)$es la representación irreducible de$G$con mayor peso$\mu$).
Reclamo: el ideal de$\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$es generado por$V(\mu)$con$\mu$siendo regular (estrictamente dominante). ¿Cómo probar esta afirmación? Tal vez hay alguna referencia?
Respuestas
Aquí hay una forma de verlo, a través de la clasificación$G$-Ideales radicales invariantes. (Esto tiene la ventaja de que describe implícitamente el límite).
Lema: $G$-ideales invariantes$I$de$\mathbb{C}[G/U]$están en biyección con conjuntos de pesos$S$para que por$\lambda\in S$y$\mu > \lambda$,$\mu\in S$. Tal ideal es radical iff para todos$\lambda\notin S,$tenemos$n\lambda\notin S$para todos los enteros positivos$n$.
Para ver esto, tenga en cuenta que$G$-la invariancia te dice que$I$debe dividirse como una suma$$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$para algún conjunto$S$. Ahora si$\lambda\in S,$el mapa de multiplicacion$V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$es sobreyectiva y por lo tanto$\mu > \lambda$también debe estar en$S$.
La declaración sobre los ideales radicales sigue de manera similar.
A partir de esta declaración, puede ver que el mínimo distinto de cero$G$-ideal radical invariante (que necesariamente recorta el límite) corresponde a tomar$S$el conjunto de todos los pesos regulares.