Las clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ dividir $G$

Question

Dejar $G$ ser un grupo y $H$un subgrupo. Entonces las clases laterales izquierdas de$H$ en $G$ dividir $G$. En particular,$(1)$ cada $a$ ∈ G está exactamente en una clase lateral izquierda, a saber $aH$y $(2)$ Si $a, b \in G$, entonces tambien $aH = bH$ o $aH \cap bH = \emptyset $.

La parte $(2)$está hecho. Mi problema es en parte$(1)$, Intenté esto pero no estoy seguro:

Dejar $a\in G$, tenemos eso $e\in H$, entonces $a\in aH$, ya que $a=ae$. Esto muestra que$a$ se encuentra en alguna clase lateral izquierda, a saber $aH$.

Ahora si $a\in aH$ y $a\in bH$, tenemos eso $a=ae=abh$, entonces $bh=e$ y por lo tanto $a$ se encuentra exactamente en una clase lateral izquierda.

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Suponiendo que haya probado (2) procedo:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Xa $a,b \in G$ Pruebalo $aH=bH$ si $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Xa $a,b \in G$ Pruebalo $b \in aH$ si $a^{-1}b \in H$

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Ya que $e \in H, a=ae \in aH$. Dejar$a \in bH$. Entonces$aH=bH$. Así$a$ pertenece exactamente a una clase lateral izquierda.