Las pruebas de leyes de límites y reglas derivadas parecen asumir tácitamente que el límite existe en primer lugar.
Digamos que estaba tratando de encontrar la derivada de$x^2$utilizando la diferenciación a partir de primeros principios. El argumento habitual sería algo así:
Si$f(x)=x^2$, luego\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Como$h$enfoques$0$,$2x+h$enfoques$2x$, entonces$f'(x)=2x$.
A lo largo de este argumento, asumí que$$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$era en realidad un objeto significativo, que el límite realmente existía. Realmente no entiendo qué justifica esta suposición. Para mí, a veces la suposición de que un objeto está bien definido puede llevarte a sacar conclusiones incorrectas. Por ejemplo, suponiendo que$\log(0)$tiene algún sentido, podemos concluir que$$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$Entonces la suposición de que$\log(0)$representó algo significativo nos llevó a concluir incorrectamente que era igual a$0$. A menudo, para probar que existe un límite, lo manipulamos hasta que podamos escribirlo en una forma familiar. Esto se puede ver en las demostraciones de la regla de la cadena y la regla del producto. ¡ Pero a menudo parece que esa manipulación solo puede justificarse si sabemos que el límite existe en primer lugar! Entonces, ¿qué está pasando realmente aquí?
Para otro ejemplo, la regla de la cadena a menudo se establece como:
Suponer que$g$es diferenciable en$x$, y$f$es diferenciable en$g(x)$. Luego,$(f \circ g)$es diferenciable en$x$, y$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
Si la prueba de que$(f \circ g)$es diferenciable en$x$simplemente equivale a calcular la derivada usando la definición de límite, luego nuevamente me siento insatisfecho. ¿Este cálculo no vuelve a hacer la suposición de que$(f \circ g)'(x)$tiene sentido en primer lugar?
Respuestas
Proposición : Sea$c \in \mathbb{R}$. Suponer$f$y$g$están definidos e iguales entre sí en alguna bola abierta pinchada$(c - \delta) \cup (c + \delta)$de$c$, donde$\delta > 0$. Luego$\lim_{x \to c} f(x)$existe si y solo si$\lim_{x \to c} g(x)$existe Y si existe un límite, también existe el otro, y ambos son iguales.
Bosquejo de prueba : Observe que la definición de límite en un punto$c$se ocupa sólo de los puntos cercanos a$c$pero no igual a$c$. Así que sea cual sea el valor de$f$o$g$en$c$, o para el caso si están o no definidos allí, no importa. Ya que$f$y$g$son iguales en puntos cercanos a$c$pero no igual a$c$, nuestro enunciado de límite sobre cualquiera de las funciones en$c$por lo tanto, también debe valer para el otro.$\square$
Esto justifica los diversos cálculos de límites que solemos hacer, como el que mostraste. De hecho, veamos su ejemplo paso a paso.
Si$f(x)=x^2$, luego\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Como$h$enfoques$0$,$2x+h$enfoques$2x$, entonces$f'(x)=2x$.
¿Qué significan o implican realmente estas secuencias de cálculos? Bueno, en el último paso/igualdad, calculamos$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, que estamos de acuerdo existe y es igual a$2x$. Dado que la función$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$es igual$2x + h$en algún barrio pinchado de$0$, ahora podemos usar la proposición para concluir que$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$es igual$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, lo que equivale$2x$. Así que pasar de la línea (3) a la línea (2) está justificado. A continuación, la función$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$es igual$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$en algún barrio pinchado de$0$, por lo que nuevamente podemos usar la proposición para justificar pasar de la línea (2) a la línea (1).
Así que hemos razonado al revés, pero hablando en términos prácticos, esto no es necesario en los cálculos de límites ordinarios. Nuestro razonamiento también "funciona" incluso cuando el límite no existe. Si al final llegamos a un límite que existe, entonces necesariamente podemos trabajar hacia atrás y garantizar que el primer límite inicial existe; y si al final llegamos a un límite que no existe, entonces necesariamente el primer límite inicial no puede existir, de lo contrario podríamos descender por la serie de equivalencias garantizadas por la proposición para garantizar que el límite final existe.
Entonces, en todos los casos, las cosas "salen bien". Lo importante a tener en cuenta es simplemente que tenemos ciertas equivalencias lógicas en cada paso: el límite existe en algún paso si y solo si existe en cualquier paso anterior o posterior.
Tienes razón en que realmente no tiene sentido escribir$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$a menos que ya sepamos que existe el límite, pero en realidad es solo un problema de gramática. Para ser precisos, primero podrías decir que el cociente de diferencias se puede reescribir$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, y luego use el hecho de que$\lim\limits_{h\to 0}x=x$y$\lim\limits_{h\to 0}h=0$así como la ley del múltiplo constante y la ley de la suma para los límites.
Agregando a la última oración: la mayoría de las propiedades familiares de los límites están escritas "al revés" así. Es decir, la "ley de la suma límite" dice$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ siempre y cuando$\lim\limits_{x\to c}f(x)$y$\lim\limits_{x\to c}g(x)$existir _ Por supuesto, si no existen, entonces la ecuación que acabamos de escribir no tiene sentido, por lo que realmente deberíamos comenzar con esa afirmación.
En la práctica, uno puede ser un poco casual aquí, aunque solo sea para ahorrar el número de palabras. Sin embargo, en una clase de análisis de introducción, probablemente querrá ser lo más cuidadoso posible.
Las otras respuestas están perfectamente bien; solo una perspectiva que puede salvarle el día en situaciones en las que la existencia del límite es en realidad un punto crítico.
La definición crucial es la de limsup y liminf: estos siempre están bien definidos, y todo lo que tienes que saber en este momento son las siguientes dos propiedades:
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- el limite de$f$existe si y solo si$\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, y en este caso el límite coincide con este valor.
Ahora imagina que haces tu cálculo dos veces: primero, calculas el limitinf; luego calculas el limsup. En ambos cálculos, tan pronto como llegas a algo que realmente tiene límite (como$2x+h$), debido a la propiedad (2), puede olvidarse de la historia inf/sup y simplemente calcular el límite.
Dado que con algunas manipulaciones llegas a algo que realmente tiene límite, ambos cálculos darán el mismo resultado y, debido a la propiedad (2), nuevamente, el límite existe y coincide con el valor que acabas de calcular.
Ahora bien, esto no es realmente lo que debe hacer si está realizando un análisis introductorio y no conoce liminf y limsup: las propiedades formales de estos dos son ligeramente diferentes de las propiedades formales de lim, y podría terminar con un error. Pero mientras no "toques" el límite, y solo hagas alguna manipulación dentro del límite, el mismo argumento continuará: si terminas con un resultado bien definido, es el límite :)
Lo que tenemos aquí realmente debería interpretarse como declaraciones múltiples:
(1.) Si$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $existe entonces$ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$existe y es igual a$\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) Si$ \lim_{h \to 0} [2x + h] $existe entonces$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$existe y es igual a$\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) Si$ \lim_{h \to 0} 2x$existe entonces$ \lim_{h \to 0} [2x + h]$existe y es igual a$ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.)$ \lim_{h \to 0} 2x$existe y es igual a$ 2x $.
Tenga en cuenta que una vez que tenemos (4.) la parte "si" (condicional) de (3.) se satisface y así sucesivamente hasta (1.). Puede ver que asumir que el límite existe en las declaraciones 1 a 3 no es un problema porque no ha usado esa suposición para probar que realmente existe. Eso sería lógica circular y nada bueno.
Su ejemplo de registro es diferente a este en la forma en que no tiene una declaración que asuma el rol de la declaración (4.) anterior, lo que le permitiría escapar del condicional. Solo has probado que$\log(0) = 0$SI$\log(0)$existe, no es eso$\log(0)$existe! Esto en sí mismo no es una conclusión incorrecta.
Si quieres ser más preciso puedes escribir:
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$si el limite existe
$= \lim_{h→0} (2x+h)$si el limite existe
$= 2x$.
Lo que significa que cada línea solo contiene "si existe el límite". Pero no tenemos que molestarnos en hacerlo en la mayoría de los casos por dos razones:
Por lo general, es bastante fácil agregar mentalmente tales condiciones y verificar que en ningún momento confiamos en la existencia del límite.
Si permitimos que las expresiones alcancen un "valor indefinido" y definimos que cada expresión con una subexpresión "indefinida" es en sí misma indefinida, ¡ni siquiera tenemos que escribir la condición "si existe el límite"! Si el límite no está definido, entonces el "$\lim \cdots$" expresión simplemente tendría el valor "indefinido", lo que no conducirá a ninguna conclusión incorrecta.
La derivada no existe a menos que exista el límite del cociente de diferencias.
La "ley del límite" que dice que el límite de una suma de dos funciones es igual a la suma de los dos límites separados no es aplicable a menos que existan los dos límites separados. Darse cuenta de
No hay casos en los que existan los dos límites separados y el límite de la suma no. Si existen los dos límites separados, entonces también existe el límite de la suma.
Sin embargo, hay casos en los que no existen los dos límites separados y sí el límite de la suma. Una situación similar que se aplica a productos en lugar de sumas surgió en algo que publiqué aquí recientemente (no puedo encontrarlo ahora). Para uno de los dos factores el límite no existía, pero la función estaba acotada y por lo tanto el límite del producto se podía encontrar apretando.
El problema se desvanece en gran medida si sólo consideramos$\lim$y$\log$explícitamente como funciones parciales . Una función parcial puede verse como una función cuyo codominio contiene un elemento extra ( ¡distinguible! ), básicamente el "valor de error".$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$donde tenemos por ejemplo$$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
Ahora, la ley del logaritmo$$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$debe entenderse con un “levantado”$+$operador, que simplemente pasa la falla en cualquier lado. Pero eso significa que para este operador, no podemos inferir de$p+q=p$que$q=0$, porque$\text{ERR}+q$es siempre $\text{ERR}$¡independientemente! En cambio, sólo de$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$podemos inferir$q = \text{OK}(0)$. Por lo tanto, no llegamos a una conclusión equivocada sobre$\log(0)$, porque eso no es un$\text{OK}$valor.
Aplicado a los límites en la diferenciación, podemos escribir inmediatamente$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$solo notando que el resultado podría ser$\text{ERR}$. Lo que también podemos hacer sin ningún problema es reescribir la expresión dentro del límite con cualquier cosa que, como una función$h\mapsto\ldots$– realmente es ( extensionalmente ) lo mismo. Esto no es un problema en particular para$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$porque$h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$y$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$realmente son iguales para todos$h\in\mathbb{R}$. Aún así, en este punto no sabemos si alguno de los límites realmente existe; podrían ser ambos.$\text{ERR}$, o ambos$\text{OK}$, pero en todo caso iguales.
Para el siguiente paso necesitamos el hecho de que el límite considera su argumento solo como una función con números distintos de cero como dominio, porque solo considerado como una función en ese dominio es$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$la misma función que$h\mapsto 2\cdot x+h$.
Y eso es todo, en este punto podemos leer que el límite es de hecho$\text{OK}(2\cdot x)$y volviendo atrás vemos que los otros límites también debieron ser$\text{OK}$con ese mismo valor.
Tenga en cuenta que$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$es indefinido en$h=0$y eso, cuando$h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
Sin embargo, la función$:x \mapsto 2x+h$es definida, continua y tiene un valor de$2x$en$h=0$.
También necesitamos usar
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
El resto sigue.
No se usó ninguna propiedad del límite en el primer argumento antes del último paso, por lo que en realidad lo que hemos hecho dentro del límite es simplemente reescribir y cuando lleguemos al último paso podemos mostrar la existencia usando la definición épsilon-delta que aparentemente trata con el problema de existencia, lo mismo se aplica a la regla de la cadena, ya que todo en la prueba antes de los últimos pasos es simplemente reescribir y los pasos finales que usan las propiedades de los límites, lo cual está justificado ya que la definición de épsilon delta trata el problema de existencia, espero que esto ayuda
Si queremos ser absolutamente claros, entonces el argumento para la derivada debería ser el siguiente:$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$y$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ambos existen y son iguales si y solo si al menos uno de ellos existe. Ya que$\lim\limits_{h\to0}2x+h$de hecho existe y es$2x$, también debe hacerlo el otro límite (eso es$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) existir y ser$2x$.
Esto no funciona para tu ejemplo de logaritmo: puedes argumentar que$\log0$y$\log0+\log0$existen y son iguales si al menos uno de los dos existe. Pero ninguno existe, por lo que el punto es discutible.