$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ implica $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

Dejar $f$ ser una función medible de Lebesgue en $[0,1]$ con $f(x)>0$casi en todas partes
Supongamos que$\{E_k\}_k$ es una secuencia de conjuntos medibles de Lebesgue en $[0,1]$ tal que $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Muestra esa $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Mis Observatioins:
Let$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
Luego $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$es una colección contable de subconjuntos medibles crecientes. Y$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Tambien como $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia creciente de conjuntos, tenemos $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

Además por separado tenemos

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Pero no veo cómo utilizar estos detalles para llegar a la respuesta final.
Aprecio tu ayuda

Answer 1

Dejar $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Entonces cada$B_n$ es un conjunto medible y $B=\cup B_n$tiene medida 1 por el supuesto. Ahora la medida de$E_k\cap B_n$ va a $0$ como $k\to \infty$ para cada $n$. Entonces$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$