Lo hace$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) $¿mantener?

Question

¿Existe una constante positiva?$c>0$tal que$$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) \tag{1}$$

se mantiene para cualquier no negativo$x,y$?

Permítanme agregar algo de contexto para esta pregunta:

La motivación proviene del caso donde$x,y$se interpretan como valores singulares de un$2 \times 2$matriz$A$con determinante no negativo. Después$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2=\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$.

me interesa acotar$\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$desde arriba por una suma de dos términos: un término que penaliza las desviaciones de$A$de ser preservador de área, y un término$\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$, que penaliza las desviaciones de la conformidad. (Aquí$\operatorname{CO}(2)=R^{+}\operatorname{SO}(2)$es el grupo de matrices conformes).

En una respuesta a esta pregunta mía anterior , se demostró el siguiente límite:$$ (x-1)^2+(y-1)^2 \le |x-y||x+y| + 2|xy-1|. $$

Si bien esto se acerca a lo que tenía en mente, el término$|x-y||x+y|$puede ser grande incluso cuando$x,y$volverse muy cercano. De hecho, se puede demostrar que $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))=\frac{1}{2}(\sigma_1(A)-\sigma_2(A))^2$, por lo que esta es la razón para preguntar sobre el límite específico$(1)$. (El término$(x-y)^2$corresponde a$\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$).

Answer 1

Dejar$x=y=0,$obtenemos$c \geqslant 2.$

Para$c =2,$la desigualdad se convierte$$(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big),$$equivalente a$$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8xy.$$Usando la desigualdad AM-GM, tenemos$$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8\sqrt[8]{(x^2y^2)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (xy)^2}=8xy.$$Entonces, tu desigualdad es válida para todos$c \geqslant 2.$