Los grupos cíclicos finitos son isomorfos a su producto con $\Bbb Z$?

Question

Actualmente estoy comenzando con la teoría de grupos y me he topado con un obstáculo con un teorema relativamente básico sobre grupos cíclicos finitos. La relación específica que me mata es:$$\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{mn} \Leftrightarrow \text{gcd}(m,n) = 1$$Entonces, el resultado más directo que veo es$$\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n$$Por alguna razón, esto no me sienta bien. ¿Por qué un grupo cíclico debe permanecer sin cambios (hasta el isomorfismo) por un producto directo con$\Bbb Z$?

¿Alguien tiene un buen ejemplo para tranquilizarme?

¡Gracias!

Answer 1

Puedes identificar$\mathbb Z_0 = \mathbb Z / 0 \mathbb Z$con$\mathbb Z$. Y luego, por supuesto, es cierto que cuando$n$es coprimo de$0$, luego$$\mathbb Z_n \times \mathbb Z \cong \mathbb Z \,.$$Pero el único$n$que son coprimos de$0$están$\pm 1$, y el isomomorfismo anterior es simplemente$$\{0\} \times \mathbb Z \cong \mathbb Z \,.$$Parece que olvidaste la condición de que$\gcd(n, 0) = 1$.

Answer 2

El bicondicional dado, tomado como un todo, se extiende al grupo cíclico infinito$\mathbb Z$cuando este último es tratado como$\mathbb Z_0$. Dejar$m=0$:$$\mathbb Z×\mathbb Z_n\iff\gcd(n,0)=1\iff n=1$$Entonces tu conclusión es falsa excepto si$n=1$, en cuyo caso es trivial.

Answer 3

$\Bbb Z\times\Bbb Z_n\not\cong\Bbb Z_n$, ya que el primero tiene una parte libre no trivial, mientras que el segundo es solo torsión.