¿Los mapas (completamente) positivos son aproximados por mapas normales (completamente) positivos?

Question

Dejar $\mathcal{H}$ denotar un espacio de Hilbert y $B(\mathcal{H})$ denotar el álgebra de todos los operadores acotados en $\mathcal{H}$. Al reconocer el dual (Banach) de$B(\mathcal{H})$ con el doble dual de los operadores de clase de traza, se puede mostrar usando el resultado estándar de la teoría del espacio de Banach que, cualquier funcional lineal acotado $\phi$ en $B(\mathcal{H})$ puede aproximarse en débil$^*$topología por operadores de clase de rastreo (acotados). En otras palabras,$\phi$ es aproximado por funcionales lineales normales en $B(\mathcal{H})$. Mi pregunta es la siguiente:

Si el funcional lineal $\phi$es positivo , puede$\phi$ser aproximados por funcionales lineales normales positivos en débiles$^*$ topología?

Además, ¿se puede generalizar esto a mapas completamente positivos? La topología aquí en consideración es la topología débil limitada. Más específicamente, si$M$ es un álgebra de von Neumann, entonces cada mapa completamente positivo $\Phi:M\to B(\mathcal{H})$ aproximarse mediante mapas normales completamente positivos en topología débil limitada?

Se agradecería alguna referencia sobre estos temas, ya que soy nuevo en ellos. Gracias.

Answer 1

Además, la respuesta a la segunda pregunta es sí , y la aproximación puede elegirse para converger en el punto ultrafuerte$^*$ topología.

Primero, eligiendo una red de proyecciones ortogonales de rango finito $p_i \in B(\mathcal{H})$ tal que $p_i \rightarrow 1$ fuertemente, los mapas completamente positivos $\Phi_i : M \rightarrow B(p_i H) : \Phi_i(a) = p_i \Phi(a) p_i$ converger a $\Phi$ en el punto ultrafuerte$^*$topología. Por tanto, basta con tratar con mapas completamente positivos$\Phi : M \rightarrow M_n(\mathbb{C})$. Esto se puede encontrar en [BO, Corolario 1.6.3]. Por [BO, Proposición 1.5.14],$$\omega : M_n(\mathbb{C}) \otimes M \rightarrow \mathbb{C} : \omega(A) = \sum_{i,j} \Phi(A_{ij})_{ij}$$es un funcional positivo. Elige una red$\omega_k$ de funcionales positivos normales en $M_n(\mathbb{C}) \otimes M$ que convergen puntualmente a $\omega$. Nuevamente por [BO, Proposición 1.5.14], hay una red correspondiente de mapas completamente positivos$$\Phi_k : M \rightarrow M_n(\mathbb{C}) : (\Phi_k(a))_{ij} = \omega_k(e_{ij} \otimes a) \; .$$ Por construcción, los mapas $\Phi_k$ son normales y convergen a $\Phi$ en la topología de norma de punto.

[BO] NP Brown y N. Ozawa, C$^*$-álgebras y aproximaciones de dimensión finita. Estudios de Posgrado en Matemáticas 88 . Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, 2008.

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta es sí . Esto se sigue del siguiente resultado más general.

Terminología I: Espacios Banach ordenados. Por un espacio de Banach reservado me refiero a un par$(X,X_+)$ dónde $X$ es un verdadero espacio de Banach y $X_+$ es un subconjunto cerrado no vacío de $X$ tal que $X_+ + X_+ \subseteq X_+$ y $\alpha X_+ \subseteq X_+$ para cada escalar $\alpha \ge 0$ (en otras palabras: $X_+$es una supuesta cuña en$X$.)

La doble cuña de$X_+$ es la cuña $$ X'_+ := \{x' \in X': \, \langle x',x \rangle \ge 0 \text{ for each } x \in X_+\}. $$ Tenga en cuenta que $(X', X'_+)$también es un espacio de Banach reservado. Además, para cada$x \in X$ se sigue del teorema de Hahn-Banach que $x \in X_+$ si y solo si $\langle x', x\rangle \ge 0$ para cada $x' \in X'_+$.

Al iterar este procedimiento, también se puede definir la cuña bi-dual $X''_+$ de $X_+$ en $X''$.

Terminología II: Polares Let$\langle X,Y\rangle$ser un par dual de dos espacios vectoriales reales; en otras palabras,$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times Y \to \mathbb{R}$ es un mapa bi-lineal tal que $X$ coordinados $Y$ y $Y$ coordinados $X$ a través de este mapa.

Para cada subconjunto $A \subseteq X$ el subconjunto $$ A^\circ := \{y \in Y: \, \langle x, y \rangle \le 1 \text{ for all } x \in A \} $$ de $Y$se llama polar de$A$ en $Y$. Del mismo modo, para cada conjunto$B \subseteq Y$ el subconjunto $$ {}^\circ B := \{x \in X: \, \langle x, y\rangle \le 1 \text{ for all } y \in B \} $$ de $X$se llama polar de$B$ en $X$.

Ahora, el teorema bipolar (ver, por ejemplo, el teorema de la página 126 en el libro de HH Schaefer "Espacios vectoriales topológicos" (1971)) dice lo siguiente:

Teorema. El llamado bipolar $\left({}^\circ B \right)^\circ$ de un subconjunto $B \subseteq Y$ es el cierre del casco convexo de $B \cup \{0\}$ con respecto a la topología en $Y$ Inducido por $X$ a través del mapeo de dualidad $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Ahora podemos aplicar este resultado a los espacios de Banach reservados:

Densidad de las cuñas en sus cuñas bi-dual Let$(X,X_+)$ ser un espacio Banach reservado e identificar $X_+$ con un subconjunto de $X''_+$ mediante evaluación.

Teorema. La cuña$X_+$ es débil${}^*$-denso en la cuña bi-dual $X''_+$.

Prueba. Consideramos el par dual$\langle X', X'' \rangle$con respecto a la dualidad habitual. Entonces se comprueba fácilmente que el polar de$X_+ \subseteq X''$ en $X'$ es igual a la cuña dual negativa $-X'_+$. Del mismo modo, es fácil ver que el polar de$-X'_+$ en $X''$ es igual a la cuña bi-dual $X''_+$. Por tanto, el teorema bipolar implica que$X''_+$ es el débil${}^*$-cierre de $X_+$ en $X''$.

Observación. Creo que lo mismo todavía funciona si cortamos la cuña con la bola unitaria, es decir, la intersección de$X_+$ con la unidad la bola es débil${}^*$-denso en la intersección de $X''_+$con la bola de la unidad. Sin embargo, no he comprobado los detalles.

Aplicación a la primera pregunta del PO. El espacio$B(\mathcal{H})$ es la complejificación del espacio de operadores autoadjuntos en $\mathcal{H}$. Entonces, para aplicar el resultado general anterior, uno puede elegir$X$ser el conjunto de todos los operadores de clase de seguimiento que producen valores reales cuando se aplican a operadores autoadjuntos; luego$X'$ es simplemente la parte autoadjunta de $B(\mathcal{H})$y $X''$ es el conjunto de todos los funcionales lineales acotados en $B(\mathcal{H})$que mapean operadores autoadjuntos a valores reales. Las cuñas$X_+$, $X'_+$ y $X''_+$son los conos estándar en estos espacios. Como hemos visto arriba que$X_+$ es débil${}^*$-denso en $X''_+$, esto produce el resultado deseado.