Matrices semidefinidas positivas y positivas

Aug 19 2020

Dejar $H_n$ ser un $(n+1)\times (n+1)$ matriz simétrica real, y deje $D_0,D_1,\dots, D_n$ ser los principales menores de edad de $H_n$.

Lo que sé es:

  1. Si $H_n$ es positivo definido (resp. positivo semi definido), entonces $D_n> 0$ (resp. $D_n\geq 0$).
  2. Si $D_k>0$ para todos $0\leq k\leq n$, entonces $H_n$es positivo definido (según el criterio de Sylvester ).

Lo que quiero saber es, asumiendo que $H_n$ es positivo semi-definido,

$\quad$Q1. Si$D_n>0$, entonces $H_n$ es positivo definido.

$\quad$Q2. Si$H_n$ no es positivo definido, entonces $D_n=0$.

Para Q1: creo que se hace por inducción sobre $n$. Xa$n=0$: Si $D_0>0$, entonces $H_0$es positivo definido, por segundo punto. Xa$n=1$: Si $D_1>0$, Como sabes eso $D_0\neq 0$, para que podamos usar el segundo punto de nuevo?

Para el segundo trimestre: sabemos que $H_n$ es positivo semi-definido por supuesto, por lo que $D_n\geq 0$por el primer punto. Pero desde$H_n$ no es semidefinido positivo, no podemos tener $D_n>0$, entonces $D_n=0$. ¿Es asi?

Respuestas

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

Una matriz semidefinida positiva es definida positiva si y solo si es invertible (tiene un determinante distinto de cero).

Esto normalmente se toma como consecuencia de lo siguiente: una matriz simétrica es definida positiva si y solo si sus valores propios son reales y semidefinidos positivos si y sólo si sus valores propios no son negativos. A partir de ahí, observamos que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios.

Para una demostración más directa, es suficiente notar que para una matriz semidefinida positiva (simétrica) $H$, tenemos $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. En mi publicación aquí , demuestro esto de diferentes maneras. A partir de ahí, tenga en cuenta que una matriz tiene un determinante cero si y solo si su espacio nulo (AKA kernel) no es trivial.