Muestra esa $12n+5$ y $5n-2$ son relativamente mejores para todos $n$ (en $\mathbb{Z}$) [duplicar]

Question

Muestra esa $12n+5$ y $5n-2$ son relativamente mejores para todos $n$ (en $\mathbb{Z}$)

He visto preguntas similares aquí, intenté seguir sus respuestas y hacerlo yo mismo, pero no me está funcionando. Probé el Euclidean Algo un par de veces y nunca termina. Estaría feliz si alguien pudiera publicar la forma de hacer esto.

Answer 1

El algoritmo euclidiano podría no alcanzar $0$, pero será de gran ayuda: $$ \begin{array}{cc} 12n+5&5n-2\\ 12n+5-2(5n-2)&5n-2\\ 2n+9&5n-2\\ 2n+9&5n-2-2(2n+9)\\ 2n+9&n-20\\ 2n+9-2(n-20)&n-20\\ 49&n-20 \end{array} $$ Entonces, básicamente, si $n-20$ tiene un factor de $7$, luego $12n+5$ y $5n-2$ ambos tendrán un factor de $7$ (y de manera similar para un factor de $49$). Por ejemplo, para$n=-1$ obtenemos $$ 12n+5=-7\\ 5n-2=-7 $$

Answer 2

$$(12n+5,5n-2)=(2n+9,5n-2)=(2n+9,n-20)=(n+29,n-20)=(n+29,49)$$

para $n=7t+6$ dónde $t\in Z$ ambos pueden ser divisibles por 7. No son primos relativos.