Muestra esa $7^{(2n^2 + 2n)}$ es congruente con $1 \bmod 60$

Question

Acabo de terminar un examen pero no pude resolver la siguiente tarea:

Demuestre que lo siguiente es válido para todos $n \in \mathbb{N}$:

$7^{2(n^2 +n)} \equiv 1 \mod 60$

He intentado mostrar que el exponente es un múltiplo de $\varphi(60) = 16$ y luego usa $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$pero supongo que eso está mal, o al menos no me llevó más lejos. ¿Alguien tiene un consejo o truco sobre cómo resolver esto?

Answer 1

Si, $n^2+n=n(n+1)$ siempre es así $2n^2+2n$ es divisible por $4$, entonces $2n^2+2n=4k$ y $7^{2n^2+2n}=(7^4)^k=2401^k \equiv 1 \mod 60$.

Answer 2

En realidad, solo necesitas mostrar que el exponente es siempre un múltiplo del orden multiplicativo de$7$ modulo $60$. Dado que este valor tiene que dividir$\varphi(60) = 16$, debe ser un factor de $16$. Como indica el comentario de la pregunta de Doctor Who , puede determinar y verificar fácilmente que el orden multiplicativo es$4$ ya que $7$ y $7^2 = 49$ no funciona, pero $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{60}$funciona. Entonces solo necesitas confirmar$n^2 + n = n(n + 1)$ es siempre uniforme, lo cual es bastante fácil de hacer ya que $n$ o $n + 1$ es incluso para todos $n$.