Muestra esa $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ tiene una solución única en $\mathbb{R}$

Aug 15 2020

Muestra esa $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ tiene una solución única en $\mathbb{R}$.

Este es un derivado de uno de los problemas de Berkeley Problems in Mathematics.

Mi solución (intento) es bastante más corta que la presentada por los autores (muestran que existe una solución única en algún vecindario de $(0,54)$ usando una versión local del teorema de Picard y luego use IFT para encontrar una solución explícita en este vecindario y demostrar que esta solución es válida en $\mathbb{R}$) así que quería comprobar que no me había perdido nada.

Aquí está mi solución:

Dejar $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Reparar$h >0$. Por propiedades básicas de funciones continuas$f$ es continuo en $[-h,h] \times \mathbb{R}$ y además Lipschitz en $y$en esta tira. Esto se sigue de,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ y el MVT.

Se aplica el teorema de Picard y vemos que el IVP tiene una solución única en $[-h,h]$.

Pero $h$ fue arbitrario, por lo que el IVP tiene una solución en todos los $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

¿Es esto correcto? En general, no estoy seguro de cómo probar la unicidad / existencia de soluciones globales ... ¿¡¿ Continuación analítica o Picard global ?!


Tenga en cuenta que la versión del teorema de Picard que estoy usando es

El IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, tiene una solución única en $\mathbb{R}$ previsto, $\forall h:$

  • $f$ es continuo en $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

  • $f$ está Lipschitz en y en $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Respuestas

LutzLehmann Aug 15 2020 at 22:26

Tu idea es correcta. Con un lado derecho sub-lineal, obtienes una solución global. La idea de prueba se explora, por ejemplo, en

  • Existencia de solución a EDO de primer orden. ¿Qué hay que probar?
  • Desigualdad en la prueba de solución única de una EDO

El problema con su fuente podría ser que no hicieron el esfuerzo de probar esta versión más global del teorema después de la localizada estándar. Por lo tanto, tienen que ensamblar la solución a partir de muchas soluciones locales.

Tenga en cuenta que con la formulación de su afección, solo obtendrá una solución en $[a-h,a+h]$, lo que no debería sorprendernos ya que este es el dominio explorado de la EDO.