¿Necesidad de probar ciertos resultados obvios y triviales en trigonometría?
Actualmente estoy haciendo trigonometría de segundo año de secundaria, pero esto es solo algo que me vino a la mente.
La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo $ABC$, dónde $\angle A = \alpha$, $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ o $90^\circ$.
Ahora, en la introducción a la trigonometría, las funciones trigonométricas de un ángulo se definen como razones o lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo :$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
En el libro de texto del que aprendí trigonometría, este era el contenido de las primeras páginas:
El primer ejemplo fue el siguiente:
Se le proporcionan dos triángulos. Deja que esos triangulos sean$XYZ$ y $PQR$. Ambos triángulos son triángulos rectángulos.$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$. También,$\angle X = \angle P$. Sean estos dos ángulos iguales a$\varphi$. Ahora,$XZ = 5 \text{ units}$, $YZ = 3 \text{ units}$ y $PR = 10 \text{ units}$. Encontrar$QR$.
La solución fue la siguiente: $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$
Creo que antes de esto. la siguiente declaración debería haber sido probada:
Las razones trigonométricas de un ángulo son únicas y no dependen del triángulo elegido.
No creo que esta solución sea válida antes de probar que el seno de $\varphi$obtenido de ambos triángulos es único. La afirmación que he mencionado anteriormente se puede probar fácilmente usando similitud, pero lo que quiero preguntar en esta pregunta es "¿Deberían demostrarse afirmaciones como esta, que se supone que son obvias y triviales, antes de intentar preguntas como el ejemplo que di? la solución de este ejemplo se considerará inválida si esta declaración no se ha probado de antemano? "
¡Gracias!
Respuestas
Antes de presentar las funciones trigonométricas, la clase se ocupará de la congruencia y la similitud. Los triángulos congruentes tienen lados iguales y ángulos iguales, y los triángulos similares tienen ángulos iguales, mientras que los lados se escalan por el mismo factor$>0$. Cuando los alumnos aceptan estos hechos, no hay problema de unicidad de$\sin\alpha$ cuando $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$.
El principal problema, por supuesto, es la dependencia "secreta" entre las longitudes de los lados y los ángulos. Esta dependencia no es tratada por la geometría euclidiana axiomática.