Negación de "si A entonces B" (cómo probar que "si A entonces B" es falso)
Sé que este tema se ha discutido antes, pero todavía no pude encontrar una respuesta a mi pregunta en particular.
Sé que la negación de "Si A entonces B" es "A y NO B".
Pero quería una aclaración y qué determina verdadero / falso para la declaración A y NO B.
Por ejemplo, supongamos que la afirmación "si A entonces B" es verdadera. Entonces, a mi entender, se seguiría que "A y NO B" siempre debe ser falso.
Sin embargo, supongamos que la afirmación "si A, entonces B" es falsa. Entonces, ¿la afirmación "A y NO B" sería siempre cierta? ¿O es que hay al menos un caso en el que "A and NOT B" es verdadero?
Para aclarar aún más mi pregunta, si quisiera demostrar que "si A, entonces B" fuera falso, tendría que demostrar que "A y NO B" siempre es cierto, o es suficiente mostrar un solo caso en el que ¿es verdad?
¡Gracias!
Respuestas
Por ejemplo, supongamos que la afirmación "si A entonces B" es verdadera. Entonces, a mi entender, se seguiría que "A y NO B" siempre debe ser falso.
Ser cierto es diferente de ser una tautología, por lo que no se sigue que "A y NO B" deban ser siempre falsos. En cambio, supongamos que "si A entonces B" es una tautología, esto implica que su negación debe ser siempre falsa, es decir, una contradicción.
Eidt: Es correcto si quiere decir "A y NO B" siempre sea falso en los casos en que "si A entonces B" es verdadero.
Sin embargo, supongamos que la afirmación "si A, entonces B" es falsa. Entonces, ¿la afirmación "A y NO B" sería siempre cierta? ¿O es que hay al menos un caso en el que "A and NOT B" es verdadero?
Si sabemos que "si A entonces B" es falso en algunos casos fijos, entonces "A y NO B" debe ser verdadero en estos casos, y si estos casos cubren todos los casos posibles, entonces sí que
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Sin embargo, cuando decimos "si A entonces B" es falso, normalmente significa que esto es falso en algún caso específico, digamos el caso C. Eso se there is at least one case where "A and NOT B" is truecumple. Sea específicamente, porque es cierto en el caso de C.
Para aclarar aún más mi pregunta, si quisiera demostrar que "si A, entonces B" fuera falso, tendría que demostrar que "A y NO B" siempre es cierto, o es suficiente mostrar un solo caso en el que ¿es verdad?
Si queremos probar que "si A entonces B" es falso en algún caso C, entonces es suficiente para demostrar que en el caso C "A y NO B" es verdadero.
Por la misma razón, si queremos probar que "si A entonces B" es siempre falso, entonces necesitamos demostrar que "A y NO B" es siempre verdadero.
Veamos la tabla de verdad de $A \rightarrow B$, tenemos $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
El único caso para conseguir $False$ el valor es cuando $A$ es $True$ y $B$ es $False$. Entonces, para obtener este resultado, solo necesita mostrar que$B$ es $False$. Espero que ayude
Aquí está la tabla de verdad para $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Como puede ver, siempre es cierto.
La implicación lógica a menudo se define como:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Esta equivalencia también se puede probar formalmente a partir de primeros principios utilizando una forma de deducción natural:
