Obtenga la suma de una secuencia a partir de la suma de sus términos impares.

Aug 16 2020

Me gustaria calcular la suma $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ utilizando la serie de Fourier de $f(x)=|x|$ encima $(-\pi,\pi)$. Coeficientes$b_k$ son todos $0$ porque $f$incluso. Haciendo las cosas de integración, obtuve:$$ a_0 = \pi $$ y $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ para $k>0$. La igualdad de Parseval da:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ lo que da $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ que simplifica a $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ que básicamente dice: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ ¿Alguna idea de cómo obtener la suma de allí?

Respuestas

1 AlessandroCigna Aug 16 2020 at 02:46

Observa que lo que tienes es que $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Vocación$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ tienes eso $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ y finalmente tienes $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ a partir del cual $S=\frac {\pi^4}{90}$

1 Riemann'sPointyNose Aug 16 2020 at 02:51

Esencialmente tienes

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Quieres encontrar

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

en otras palabras, quieres agregar

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Factorizando un ${\frac{1}{2^4}}$ en los rendimientos anteriores

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

Entonces, en general, si llamas ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ tienes

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

¿Puedes reorganizar ahora para ${S}$?