Oscilador armónico cuántico, energía de punto cero y el número cuántico n
La energía de un oscilador armónico cuántico se da como,
\begin{ecuación} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{ecuación}
Entiendo las implicaciones del principio de incertidumbre de Heisenberg que no permite que los átomos se detengan incluso en$0$K. Esta incertidumbre es la razón de que los átomos posean cierta energía en$0$K - la energía de punto cero (ZPE). La mayoría de los textos introducen ZPE señalando cómo con$n = 0$todavía hay una energía remanente igual a$\frac{1}{2}\hbar\omega$.
Es$n$solo un numero? Si es así, ¿cómo ha$n = 0$algo que ver con la temperatura?
Respuestas
La energía de punto cero no tiene importancia aquí, ya que siempre puede elegir su energía de referencia libremente, puede cambiar la energía de su hamiltoniano por$\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$y la física del sistema permanecerá igual (la función de onda será la misma). Dado que esta función de onda no es una función delta ubicada en cero (como lo es en la mecánica clásica), sino que está más dispersa, puede interpretar esto como, por ejemplo, que sus átomos aún vibran cuando se encuentran en este estado propio del hamiltoniano.
Con respecto a su pregunta: Sí,$n$es solo un número que pretende etiquetar los estados propios de energía de menor a mayor. La temperatura solo juega indirectamente. Para definir una temperatura, debe definir un conjunto térmico (necesita más de una partícula para hacerlo correctamente) con una matriz de densidad asociada$\rho$. Una opción común para esto viene dada por$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$donde$|i\rangle$denote los estados propios de energía y$E_i$los valores propios de energía correspondientes (en este caso para el oscilador armónico).$T$es la temperatura,$k$simplemente una constante. Puede interpretar (de manera similar al coeficiente de expansión de una función de onda) que el factor$e^{-E_{i}/kT}/z$es una probabilidad de estar en el estado$|i\rangle$. Puedes ver que cuando$T\rightarrow 0$, solo quedará el coeficiente con el valor propio de energía más bajo (cualquier coeficiente con mayor$E_i$-el valor se desvanecerá más rápido). De esto se puede deducir que para un sistema general (no solo su ejemplo de oscilador armónico) el sistema estará en el estado de energía más bajo cuando$T\rightarrow 0$(siempre y cuando tengas un conjunto térmico).
El número cuántico n simplemente representa los diferentes niveles de energía dados por el oscilador armónico.
$\mathbf{n=0}$no corresponde a una temperatura dada, pero su ocupación relativa a otros niveles de energía sí corresponde a una temperatura dada. A medida que aumenta la temperatura de un sistema, los niveles de energía más altos pueden ocuparse en mayor número. Asimismo, a 0 K existe el requisito de que solo se ocupe el nivel de energía más bajo.
Es$n$solo un numero?
$n$es de hecho un número. ¿Es solo un número? Bueno, es un número cuántico , lo que significa que etiqueta el$n^{\textrm{th}}$nivel de energía excitado del sistema (es decir, el$(n+1)^{\textrm{th}}$valor propio más pequeño del hamiltoniano del sistema, con$n=0$correspondiente al valor propio más pequeño ,$n=1$correspondiente al segundo valor propio más pequeño, etc.
Si es así, ¿cómo$n = 0$tiene algo que ver con la temperatura?
La matriz de densidad de un sistema con el potencial del oscilador armónico a menudo se da en términos del hamiltoniano$H$por:
\begin{ecuación} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\right)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{ecuación}
Las diagonales de la matriz de densidad de arriba a la izquierda a abajo a la derecha le indican la probabilidad de encontrar el sistema en$n=0,1,2,\ldots$, lo que significa que si el elemento superior izquierdo de la matriz de densidad es$p$, la probabilidad del sistema de encontrarse en el nivel de energía correspondiente a$n=0$es$p$. Cuándo$T=0$tenemos que la probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquier estado excitado ($n>0$) está extremadamente suprimida por la exponencial decreciente, y puede contar con encontrar el sistema en el$n=0$nivel. Cuándo$T$es más grande, es más probable que los estados excitados se llenen. Como$T$enfoques$+\infty$, la exponencial se acerca a 1 y nos acercamos a un escenario donde las probabilidades se igualan para cada estado$n$.
ecuación 1 en esta respuesta también es:
- ecuación 1 en esta respuesta: Conversión de energía de enlace de adsorción a temperatura absoluta
- ecuación 3 en esta respuesta: ¿Puedo calcular la diferencia de energía libre en microestados cercanos (temporalmente) usando la ecuación de Zwanzig para la perturbación de energía libre?
- ecuación 2 en esta respuesta: oscilador armónico cuántico, energía de punto cero y el número cuántico n
Es$𝑛$solo un numero?
En breve,$n$es el número cuántico de energía del oscilador armónico cuántico.
Si es así, ¿cómo$𝑛$=$0$tiene algo que ver con la temperatura?
En particular,$n$=$0$significa que el oscilador armónico permanecerá en su estado fundamental. Por lo general, se supone que el estado fundamental de un sistema cuántico se vive a temperatura cero. Por lo tanto, puede encontrar una conexión entre$n=0$y punto cero.
Aquí hay una publicación para hablar sobre la relación entre la temperatura cero y el estado fundamental.
- https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
Aquí hay una publicación para hablar sobre cuál es el tamaño para hablar sobre el equilibrio térmico (esto es importante para definir la temperatura):
- https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium
Que ayude.
Como ya se ha dicho en varias otras respuestas,$n$es sólo un número, y la población de los estados con diferentes$n$depende de la temperatura
Sin embargo, todavía no se ha mencionado un punto importante. El oscilador armónico cuántico a menudo se invoca para el movimiento nuclear. Surge de la expansión de Taylor de segundo orden de la superficie de energía potencial nuclear de Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$
donde el término de primer orden desaparece ya que$\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$como minimo
Dado que la extensión espacial de los estados aumenta con$n$, la importancia de los efectos anarmónicos también crece con$n$, o con el aumento de la temperatura.