¿Podemos concluir que la secuencia a $a_n$ tal que $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$y $a_1 \neq 0$ ¿esta incrementando?

Question

Tenemos una secuencia infinita $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ Y se da que $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (esa es la diferencia entre los términos posteriores que aumentan y el primer término no puede ser cero)

¿Podemos concluir que los valores absolutos de los términos posteriores están aumentando? Eso es, podemos concluir$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Jugar con las desigualdades dadas en la pregunta puede darnos la información de que los términos alternativos están aumentando (en valor absoluto / numérico, dejando $a_1$ aparte, es decir, sin comparar $a_1$con cualquier término, pero solo preocupándose de que no sea cero) pero no los términos consecutivos. Entonces, creo que no podemos concluir que los términos consecutivos estén aumentando numéricamente.

Se busca una respuesta explicativa.

Answer 1

Considere la secuencia $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ dónde $c_n\in\{+1,-1\}$, y la secuencia $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

Luego $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ está aumentando, pero debido a la elección aleatoria de $c_i$ no se sabe si $a_n$está aumentando o disminuyendo. Aquí hay un ejemplo generado por una elección aleatoria de$c_n$.

Answer 2

Un contraejemplo es suficiente y puede producir uno con solo tres términos. Si quieres ir un poco más allá y demostrar que no es necesario que haya un punto más allá del cual los términos aumenten en valor absoluto, tienes que trabajar un poco más, pero no mucho. Por ejemplo, deja$a_1=1$, y en general dejar

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

para que obtengas la secuencia $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; no es difícil demostrar por inducción que en ese caso$a_{2n-1}=n$ y $a_{2n}=1-n$ para todos $n\in\Bbb Z^+$. Evidentemente$|a_{n+1}-a_n|=n$ para $n\in\Bbb Z^+$, pero $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ para $n\in\Bbb Z^+$.