Por qué$8^{\frac{1}{3}}$es$1$,$\frac{2\pi}{3}$, y$\frac{4\pi}{3}$
La pregunta es:
Use el teorema de DeMoivre para encontrar$8^{\frac{1}{3}}$. Exprese su respuesta en forma compleja.
Seleccione uno:
una. 2
b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)
C. 2, 2 cis ($\pi$/3)
d. 2 cis ($\pi$/3), 2cis ($\pi$/3)
mi. Ninguno de esos
Creo que$8^{\frac{1}{3}}$es$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$
Y,$r = 8$
Y,$8\cos \theta = 8$y$\theta = 0$.
Asi que,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$
solo tengo$2$. Dónde y cómo otros$\frac{2\pi}{3}$, y$\frac{4\pi}{3}$¿viene de?
Respuestas
Podríamos verlo así:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Ahora para diferentes valores de$k$, tenemos diferentes respuestas: (aquí$n$es$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$
Podrías leer sobre$n^{\text{th}}$raíces de la unidad en Wikipedia para obtener una mejor imagen
Dejar$z^3=8$.
De este modo,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$lo que da$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$o$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$
Aquí,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$
entonces, por$k=1$,$k=2$obtenemos$\frac{2\pi}{3}$y$\frac{4\pi}{3}$
O tomar:$$8^{1/3}=x$$Entonces obtenemos,
$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$
Entonces obtenemos nuestras raíces deseadas.
$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$
aquí$\omega$es raíz cúbica de la unidad