¿Por qué las matrices de Gell-Mann tienen esta normalización?

Question

Esta podría ser una pregunta estúpida, pero ¿por qué la normalización de las matrices de Gell-Mann (base de la$\mathrm{su}(3)$Lie álgebra) elegido para ser$$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$en lugar de solo$\delta_{ij}$sin el factor$2$? En la mayor parte del álgebra lineal, los vectores base se normalizan a$1$(o no normalizado en absoluto). ¿Por qué no en el contexto de Lie Algebras? ¿Hay alguna forma de ver esto que haga que el factor$2$parece natural?

En una nota relacionada, algunos textos de física cambian la normalización definiendo "los generadores de la$\mathrm{SU}(3)$grupo" como$T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$. Pero estos solo cumplen$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$lo que me parece igual de antinatural. (Y la diferencia entre estas dos convenciones de normalización solo me costó una hora de perseguir un factor faltante$4$en un cálculo largo. Por eso hago esta pregunta xD).

Answer 1

Historia. Las matrices de Gell-Mann son una extensión/generalización de las matrices de espín de Pauli para su(2) , y$\lambda_{1,2,3}$identificarse con estos, por lo que obedecen a la misma relación de traza.

También comprende por qué las matrices de Pauli se normalizan aún más de esta manera por un 1/2 adicional, para luego obedecer el álgebra su (2) canónicamente normalizada con constante de estructura ε , evitando así exponenciales de medio ángulo.